已知二次函数 $y=x^2+(m-2) x+\frac{1}{4}(m-4)(m-2)$ ，其中 $m>2$.
(1) 当该函数的图象经过原点 $O(0,0)$ ，求此时函数图象的顶点 $A$ 的坐标;
(2) 求证: 二次函数 $y=x^2+(m-2) x+\frac{1}{4}(m-4)(m-2)$ 的顶点在第三象限；
(3) 如图，在 (1) 的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线 $y=-2 x-4$ 上运动，平移后所得函数的图象与 $y$ 轴的负半轴的交点为 $B$ ，求 $\triangle A O B$ 面积的最大值.