已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)\left(A>0, \omega>0,0 < \varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象过点 $M\left(0, \frac{A}{2}\right)$和 $N(\pi, 0), f(x)$ 的最小正周期为 $T$, 则
$\text{A.}$ $T$ 可能取 $\frac{12 \pi}{7}$
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(0,4 \pi)$ 上至少有 3 个零点
$\text{C.}$ 直线 $x=\frac{8 \pi}{11}$ 可能是曲线 $y=f(x)$ 的一个对称轴
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 的图象在 $[0,2 \pi]$ 上的最高点和最低点共有 4 个, 则 $\omega=\frac{11}{6}$