一、填空题 （共 1 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
二重积分 $\iint_D \sin \left(\max \left\{x^2, y^2\right\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ 其中
$$
D=[0, \sqrt{\pi}] \times[0, \sqrt{\pi}] .
$$
二、解答题 （ 共 8 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设区域 $D: 0 \leqslant x \leqslant 2,|y| \leqslant x$, 函数 $f(x, y)=\max _{-1 \leqslant \leqslant \leqslant 3}\left(t^2-2 x t+y^3\right)$, 计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设区域 $D: 0 \leqslant x \leqslant 2,|y| \leqslant x$, 函数 $f(x, y)=\max _{-1 \leqslant t \leqslant 3}\left(t^2-2 x t+y^3\right.$ ), 计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
求二重积分 $\iint_D \frac{\mathrm{d} \sigma}{\sqrt{x+y+4}}$, 其中
$$
D=\{(x, y):|x|+|y| \leq 1\} .
$$
计算二重积分 $\iint_D \frac{x+y}{x^2+y^2} d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1\right\}$ 。
计算二重积分 $\iint_D\left|y^2-x^2\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid x \in[-1,1], y \in[0,2]\} .
$$
计算二重积分 $I=\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D$ 由 $y=\sqrt{1-x^2}, y=\sqrt{2 x-x^2}$ 与 $x$ 轴所围成的区域.
设 $D=\left\{(x, y): x^2+y^2 \leq 1\right\}$, 实数 $\alpha, \beta$ 满足 $\alpha^2+\beta^2=1$, 计算二重积分
$$
\iint_D \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{(1-\alpha x+\beta y)^2+(\beta x+\alpha y)^2}} .
$$
求二重积分 $I=\iint_D\left|x^2+y^2-4\right| d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 16\right\}$ 。