解答题 （ 共 ### 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x, y)=\sqrt{\left|x^2-a y^2\right|}(a>0)$ 在点 $O(0,0)$ 处沿着从点 $O$ 到点 $P(1,-1)$ 的方向 的方向导数为 $\sqrt{2}$.
(I) 求曲面 $z=f(x, y)$ 与平面 $y=1$ 的交线在 $z O x$ 面上的投影曲线绕 $z$ 轴旋转一周所得旋转 曲面 $\Sigma$ 的方程;
(II) 求函数 $g(x, y, z)=x^2-a y^2-z^2$ 在曲面 $\Sigma$ 位于 $x^2+y^2 \leqslant 5$ 的部分上沿方向 $(1,-1,2)$ 的方向导数的最小值.
设曲线 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=\frac{\pi^2}{4}$ 上从点 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 到点 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的一段, 计算曲线积分
$$
I=\int_L \frac{\mathrm{e}^y+\mathrm{e}^{-y}}{2} \cos x \mathrm{~d} x+\frac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}{2} \sin x \mathrm{~d} y .
$$
设数列 $\left\{x_n\right\},\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 分别满足 $x_n=\left(1+\sin \frac{1}{n}\right)^n, a_n=\frac{x_{2 n}}{x_{2 n-1}}, b_n=\prod_{i=1}^n a_i$.
(I) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$;
(II ) 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n$ 存在.