一、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
二元函数 $z=\ln \left(y^2-2 x+1\right)$ 的定义域为
设向量 $a=(2,1,2), \vec{b}=(4,-1,10), \vec{c}=\vec{b}-\lambda \hat{1}$, 且 $\vec{a} \perp \mathbf{1} \dot{c}$, 则 $\lambda=$
经过 $(4,0,-2)$ 和 $(5,1,7)$ 且平行于 $x$ 轴的平面方程为
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n^p}$, 当 $p$ 满足 （ ） 条件时级数条件收敛
二、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求微分方程 $y^{\prime}+y=e^x$ 满足初始条件 $x=0, y=2$ 的特解。
计算二重积分 $\iint_D \frac{x+y}{x^2+y^2} d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1\right\}$ 。
设 $z=z(x, y)$ 为方程 $2 \sin (x+2 y-3 z)=x-4 y+3 z$ 确定的隐函数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$ 。
求曲线积分 $\int_L(x+y) d x+(x-y) d y$, 其中 $L$ 沿 $x^2+y^2=a^2(x \geq 0, y \geq 0)$, 逆时针方向。
计算 $\iint_D y^5 \sqrt{1+x^2-y^6} d x d y$, 其中 $D$ 是由 $y=\sqrt[3]{x}, x=-1$ 及 $y=1$ 所围成的区域。
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性, 并指出是条件收敛还是绝对收敛。
将函数 $\frac{1}{(1-x)(2-x)}$ 展开成 $x$ 的幂级数, 并求其成立的区间。
抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n x^n}{(n+1) !}$ 的和函数。
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有连续导数, 且 $f(0)=1, g(0)=0, L$ 为平面上任意简 单光滑闭曲线, 取逆时针方向, $L$ 围成的平面区域为 $D$, 已知
$$
\oint_L x y d x+[y f(x)+g(x)] d y=\iint_D y g(x) d \sigma,
$$
求 $f(x)$ 和 $g(x)$ 。