单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y_1, y_2$ 是一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+$ $\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$
设 $y_1(x), y_2(x), y_3(x)$ 为二阶线性非齐次方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$ 的三个线性无关解，$C_1, C_2$ 为两个任意常数，则该方程的通解
$\text{A.}$ $C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+y_3(x)$
$\text{B.}$ $C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)-\left(C_1+C_2\right) y_3(x)$
$\text{C.}$ $C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)-\left(1-C_1-C_2\right) y_3(x)$
$\text{D.}$ $C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\left(1-C_1-C_2\right) y_3(x)$
（数 1，2）在下列微分方程中，以 $y=C_1 \mathrm{e}^{\mathrm{r}}+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意常数）为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$ ．
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$ ．
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$ ．
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$ ．
（数 1，2）具有特解 $y_1=\mathrm{e}^{-x}, y_2=2 x \mathrm{e}^{-x}, y_3=3 \mathrm{e}^x$ 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ ．
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$ ．
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ ．
方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=1+e^x \cos 2 x$ ，则其特解形式为
$\text{A.}$ $y=b+e^x A \cos 2 x$ ．
$\text{B.}$ $y=b+e^x\left(\left(a_0 x+a_1\right) \cos 2 x+\left(c_0 x+c_1\right) \sin 2 x\right)$ ．
$\text{C.}$ $y=b+x e^x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．
$\text{D.}$ $y=b+e^x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．
对于微分方程 $\left(x^2+1\right) y^{\prime \prime}=2 x y^{\prime}$ ，下列哪个函数是它的通解
$\text{A.}$ $y=C_1\left(x^3+x\right)+C_2$
$\text{B.}$ $y=C_1\left(\frac{x^3}{3}+x\right)+C_2$
$\text{C.}$ $y=C_1\left(\frac{x^3}{3}+x\right)+2$
$\text{D.}$ $y=\frac{x^3}{3}+x$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x+1,0 \leq x \leq \pi \\ 0, \\ -\pi \leq x < 0\end{array}, S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 的以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=$
微分方程初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(1+e^x\right) y y^{\prime}=e^x \\ y(0)=\sqrt{2 \ln 2}\end{array}\right.$ 的解为 $y(x)=$
四阶微分方程 $y^{(4)}-2 y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解为
微分方程 $y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0)=1$ 的特解为
微分方程 $\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x}$ 满足初始条件 $y(\pi)=1$ 的特解为
微分方程 $y^{\prime}=e^{x+y}$ 的通解为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=x e^{3 x}$ 的通解．
求微分方程 $y^{\prime} x \ln x \sin y+(1- x \cos y) \cos y=0$ 的通解．
已知可导函数 $f(x)$ 满足
$$
f(x) \cos x+2 \int_0^x f(t) \sin t d t=x+1
$$
试求 $f(x)$ 的表达式．
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 $\boldsymbol{S}$ 成正比，比例常数 $\boldsymbol{K} \boldsymbol{>} \mathbf{0}$ 。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，己知半径为 $r_0$ 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少小时？
求微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^{-2 x}$ 的通解．
求微分方程 $x y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=x^2$ 满足初始条件 $y(1)=-\frac{1}{12}, y^{\prime}(1)=0$ 的特解．
（工数）求解微分方程初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-x y=x^3 \\ y(0)=-1\end{array}\right.$ ．
求常微分方程的初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}=(1-x) y^{\prime \prime}, \\ y(0)=0, \\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.$ 的解 $(x < 1)$ 。
求微分方程 $\frac{2 x}{y} \mathrm{~d} x-\frac{1}{\ln x} \mathrm{~d} y=0(x>0)$ 满足 $y(1)=1$ 的解．
求方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=\mathrm{e}^{2 x}$ 的通解．