单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设有积分 $I_1=\int_0^1 \frac{x}{\ln (1+x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln ^2(1+x)} d x, I_3=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln \left(1+x^2\right)} d x$, 则 $I_1, I_2, I_3$按大小不同排列的顺序是
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{C.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{D.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
由曲线 $y=e^x$ 与直线 $x=1 、 y=1$ 所围成的图形的面积为
$\text{A.}$ $\int_0^1\left(e^x-1\right) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1\left(1-e^x\right) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 e^x d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1\left(e^x+1\right) d x$
设 $I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x d x, \quad J=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x d x, \quad K=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x d x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $I < K < J$
$\text{C.}$ $J < I < K$
$\text{D.}$ $K < J < I$
下列广义积分收敛的是 ．
$\text{A.}$ $\quad \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^3}} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$
$\int_0^1(2 x+1) d x$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
若 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则 $\int_a^b f(x) d x-\int_a^b f(t) d t$ 的值为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $f(b)-f(a)$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 无法确定
以下三个反常积分中，发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} x \mathrm{~d} x$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{D.}$ $ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$
设 $\forall x \in(a, b)$ ，有 $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)$ ，则 $\forall x \in(a, b)$ 有
$\text{A.}$ $\int f(x) d x=g(x)+C$ ；
$\text{B.}$ $\int g(x) d x=f(x)+C$ ；
$\text{C.}$ $f(x)=g(x)$ ；
$\text{D.}$ $f(x)=g(x)+C$ 。
设 $a>0$ ，则 $\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $a^2$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{2} a^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4} a^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4} \pi a^2$
若 $\frac{\sin x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int x f^{\prime}(x) d x=$
$\text{A.}$ $\frac{\sin x}{x}+c$
$\text{B.}$ $\frac{1+\sin x}{x^2}+c$
$\text{C.}$ $ {\operatorname { c o s }} {x}-\frac{\mathbf{2} {\operatorname { s i n }} {x}}{ {x}}+ {c}$
$\text{D.}$ $ {\operatorname { c o s }} {x}+\frac{\mathbf{2} {\operatorname { s i n }} {x}}{ {x}}+ {c}$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x=$
已知 $\int \frac{f^{\prime}(\ln x)}{x} d x=x^2+C$ ，则 $f(x)=$
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且 $\int_a^b f(x) d x=5, \int_a^c f(x) d x=3(a < c < b)$ ，则 $\int_c^b f(x) d x=$
$\int_{-1}^1 x^3 \cos x d x=$
$\int_{-2}^2(\sin x+1) \sqrt{4-x^2} \mathrm{~d} x=$
定积分 $\int_{-1}^1 \frac{2+x \cos x}{\sqrt{4-x^2}} d x=$
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算定积分 $\int_0^\pi[x] x \sin x d x$ ，其中 $[ x ]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．
计算由摆线 $x=t-\sin t, y=1-\cos t$ 相应于 $0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ 的一拱与直线 $y=$ 0 所围成的图形分别绕 $x$ 轴、 $y$ 轴旋转而成的旋转体的体积．
已知函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\int_0^x t^2 f(t-x) \mathrm{d} t$ ，求 $g^{\prime}(x)$
$\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x-1}{\sqrt{1-x^2}} d x$
判断广义积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x \cdot \ln x}{x^2} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．
设 $f(t)=\left(\int_0^t \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x\right)^2, g(t)=\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-t^2\left(1+x^2\right)}}{1+x^2} \mathrm{~d} x$ ，证明：$f(t)+g(t)=\frac{\pi}{4}$ ，并由此计算 $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
设 $m, n$ 为常数，若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^n\left(1-e^{-x}\right)}{(1+x)^m} d x$ 收敛，求 $m, n$ 的取值范围。
求不定积分 $\int \frac{1}{x \sqrt{2+\ln x}} d x$ ；
设函数 $f(x)=\int_{-x}^{\sin x} \arctan \left(1+t^2\right) d t$ ，求 $f^{\prime}(0)$
设 $D$ 是曲线 $f(x)=4-x^2(0 \leq x \leq 2)$ 和该曲线段上点 $(a, f(a))(0 \leq a \leq 2)$ 处的切线，$y$轴与直线 $x=2$ 所围成的图形．
（1）求区域 $D$ 的面积．
（2）试问 $a$ 取何值时，$D$ 的面积取得最小值，并求此时的面积．
求不定积分 ： $\int \frac{\sin x+8 \cos x}{2 \sin x+3 \cos x} d x$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-x}, & x \geq 0 \\ 1+x^2, & x < 0\end{array}\right.$ ，求 $\int_{\frac{1}{2}}^2 f(x-1) d x$ 。
曲线 $y=e^x$ 与原点所引切线和 $y$ 轴三者所围成的平面图形为 D，
求 1 ）平面图形 D 的面积；2）D绕 × 轴旋转所成旋转体的体积。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导且满足以下三个条件：
（i） $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b g(x) \mathrm{d} x=0$ ；
（ii）$f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)>0, x \in[a, b]$ ；
（iii）$g(x)$ 在 $(a, b)$ 上有唯一零点 $\xi$ ．
证明：（1） $\int_a^b f(x)\left(\int_a^x g(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} x=-\int_a^b g(x)\left(\int_a^x f(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\int_a^b f(x)\left(\int_a^x g(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} x>0$ ．