单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=\cos x\left(-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 与 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$.
$\text{B.}$ $\pi$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{2}$.
$\text{D.}$ $\pi^2$.
函数 $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$, 则 $x=3$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 跳跃间断点
$\text{D.}$ 无穷间断点
若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且满足关系式 $f(x)=\int_0^x f(x-t) d t+1$ ，
则 $f(x)=$
$\text{A.}$ $e^x$
$\text{B.}$ $e^x+1$
$\text{C.}$ $e^{-x}$
$\text{D.}$ $e^{-x C_{+}} 1$
估计 $I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}}\left(1+\sin ^2 x\right) \mathrm{dx}$ 的值为 ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2} \leq I \leq \pi$
$\text{B.}$ $\pi \leq I \leq 2 \pi$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2} \leq I \leq 2 \pi$
$\text{D.}$ $\pi \leq I \leq \frac{3 \pi}{2}$
已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $F(x)=x^3+1$ ，则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $3 x^2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} x^4+x$
$\text{C.}$ $x^3$
$\text{D.}$ $3 x^2+C$ $C$ 为常数
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
写出 $f(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$ 的所有间断点及其所属类型
设函数 $f(x)=1+\frac{x}{(x+1)^2}$, 请回答下列的问题:
函数 $y=f(x)$ 的单调增区间为
函数 $y=f(x)$ 极大值为
曲线 $y=f(x)$ 在极大值点处的曲率为
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\int_0^x \frac{\ln \left(1+t^3\right)}{t} d t}=$
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{t^2}{2} \\ y=1-t\end{array}\right.$ 确定，则 $\frac{d^2 y}{d x^2}=$
由曲线段 $y=\sqrt{x-\frac{1}{4}}, ~ x \in[1,4]$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转面的面积为。
设 $\int f^{\prime}(\cos x) d x=\ln (\sin x)+c$ ，求 $f(x)$ ．
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sin ^2 x} \ln (1+t) \mathrm{d} t}{\left(\sqrt[3]{1+x^3}-1\right) \sin x}=$
设 $f(x)$ 连续，且 $f(x)+f(-x)=2$ ．求
$$
\int_{-1}^1\left(f(x)+x^2 \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right) d x=
$$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(1+x^2\right),-\infty < x \leq 1, \\ A \mathrm{e}^{\arctan x}, \quad 1 < x < +\infty,\end{array} f(x)\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $A=$
曲线 $y=\frac{x}{x-1}+\ln \left(2+3 \mathrm{e}^x\right)$ 的斜渐近线方程
已知函数 $f(x)=\sin ^2 x$ ，则 $f^{(n)}(x)=$
解答题 （共 22 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x e^{-x}, & x \leq 0 \\ \sqrt{2 x-x^2}, & 0 < x \leq 1\end{array}\right.$ 求 $\int_{-3}^1 f(x) d x$.
已知曲线 $y=a \sqrt{x}(a>0)$ 与曲线 $y=\ln \sqrt{x}$ 在交点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有公共切线,
(1) 求常数 $a$ 及 $x_0$;
(2) 求两曲线与 $x$ 轴围成的平面图形的面积 $A$;
(3) 写出 (2) 中所述平面图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 $V_x$ 的定积分计算公式 (不必计算结果)。
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan x}{\ln (\cos x)} d x$
$\int \frac{x^3}{x^8-2} d x$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x\left(\sqrt{1+t^2}-\sqrt{1-t^2}\right) d t}{x^2 \sin x}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ x-1, & 1 < x \leq 2\end{array}\right.$ ，求 $\varphi(x)=\int_0^x f(t) d t$ 在 $[0,2]$ 上的表达式，并讨论 $\varphi(x)$ 在 $(0,2)$ 内的连续性及可导性．
求由 $\int_0^y e^t d t+\int_0^x \cos t d t=0$ 所决定的隐函数 $y$ 对 $x$ 的导数 $\frac{d y}{d x}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x(\arctan t)^2 d t}{\sqrt{x^2+1}}$ ．
设当 $x>0$ 时，方程 $k x+\frac{1}{x^2}=1$ 有且仅有一个解，求 $k$的取值范围．
求由曲线 $x ^2+( y - 5 )^2= 1 6$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体的体积．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\cos x-\cos 2 x}{x^2}, x < 0 \\ A, x=0 \\ \frac{\sin x-B \int_0^x e ^{-t^2} d t}{x}, x>0\end{array}\right.$ 处处连续，试确定常数 $A, B$ 的值．
设 $y=x^{50}(3 x+1)^{30}(2 x-1)^{20}$ ，求 $y^{(100)}$ ．
求由点 $P(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线与该抛物线及 $x$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体体积．
一商家销售某种商品的价格满足关系 $p=7-0.2 x$（万元／吨），$x$ 为销售量（单位：吨），商品的成本函数是 $C=3 x+1$（万元）．
（1）若每销一吨商品，政府要征税 $t$（万元），求该商家获最大利润时的销售量；
（2）$t$ 为何值时，政府税收总额最大？
设 $f(x)$ 二阶可导，且有 $x=\int_0^x f(t) d t+\int_0^x t f(t-x) d t$ ，求 $f(x)$ ．
证明：对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \geqslant \sqrt{1+x^2}$ ．
求由曲线 $y=x^2-4$ 与 $y=2-x$ 所围图形的面积．
讨论函数 $f(x)=\frac{x \arctan \frac{1}{x-1}}{\sin \frac{\pi}{2} x}$ 的连续性，并指出间断点的类型
由 $y=x^3, x=2, y=0$ 所围成的图形，分别绕 $x$ 轴及 $y$ 轴旋转，计算所得的旋转体的体积．
试证 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(a+b-x) \mathrm{d} x$ ，并由此计算 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^2 x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ ．
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{2}, \quad 0 \leq x \leq \pi \\ 0, \quad x < 0 \text { 或 } x>\pi\end{array}\right.$ ，求 $\phi(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的表达式
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x(x-t) f(t) d t}{x^2}$ ，其中 $f(x)$ 是一个连续函数．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内 $\frac{2}{\pi} < \frac{\sin x}{x}$