单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 在 $R$ 上连续，且 $f(x) \neq 0, \varphi(x)$ 在 $R$ 上有定义，且有间断点，则下列陈述中哪些是对的？
$\text{A.}$ $\varphi[f(x)]$ 必有间断点；
$\text{B.}$ $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点；
$\text{C.}$ $f[\varphi(x)]$ 未必有间断点；
$\text{D.}$ $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 没有间断点；
解答题 （共 38 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f\left(e^x\right)=x e^{-x}$ ，则 $f(x)=$
设 $f\left(x^2-1\right)=\ln \frac{x^2}{x^2-2}$ ，且 $f[\varphi(x)]=\ln x$ ，求 $\varphi(x)$
已知 $y=2 x, x \in R$ ，则其反函数
判定 $f(x)=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$ 的奇偶性．
设 $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2-x, & x \leq 0 \\ x+2, & x>0\end{array}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & x < 0 \\ -x, & x \geq 0\end{array}\right.\right.$ ，则复合函数 $g[f(x)]=$
已知 $f(x)=\sin x, f[\varphi(x)]=1-x^2$ ，则 $\varphi(x)=$ $\qquad$ ；其定义域为 $\qquad$
函数 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x+x^3}{1+x^4}$ ，求 $f(x)$
判断函数 $f(x)=\frac{1}{2}\left(a^x+a^{-x}\right)$ 的奇偶性．
设 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，存在常数 $c \neq 0$ ，使 $f(x+c)=-f(x)$ ．证明 $f(x)$ 是周期函数．
函数 $y=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right) \quad(x \geq 1)$ 的反函数是
证明数列 $x_n=\sin \frac{n \pi}{2}(n=1,2, \ldots)$ 是发散的．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 的一般项 $x_n=\frac{\cos \frac{n \pi}{2}}{n}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-1, x < 0, \\ 0, x=0, \\ x+1, x>0 .\end{array}\right.$ ，说明：当 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 的极限不存在．
求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}$ ．
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x}>0$ ，存在 $\delta>0 f(x)$ 在 $(-\delta, \delta)$ 内可导，则在 $(0, \delta)$ 内，$f^{\prime}(x)$ 的符号为
求 $f(x)=\frac{x}{x}, \phi(x)=\frac{|x|}{x}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时的左，右极限，并说明它们在 $x \rightarrow 0$ 时的极限是否存在．
说明 $\lim _{x \rightarrow \infty} e^x$ 不存在．
说明 $\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan x$ 不存在．
函数 $y=x \cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是否有界？这个函数是否为当 $x \rightarrow+\infty$ 时的无穷大？为什么？
函数 $y=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1]$ 上无界，但这函数不是当 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷大．
求 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^3+4 x^2+2}{7 x^3+5 x^2-3}$ ．
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_1 x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_1 x+b_0}=$
求 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2}{e^x}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^x}{x^x}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$ ；
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^3}$;
$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$;
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n \pi}\right)=1$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{x}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \sin x}$ ；
$\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sin \frac{x}{2^n}$（ $x$ 为不等于零的常数）．
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}$ ；
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}(k$ 为正整数 $)$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)}-1}{\cos x-1}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^3+3 x}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．