单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+2 x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_3+2 b x_2 x_3$ 可经正交变换化为标准形 $2 a y_1^2$ $-3 b y_2^2$ ，则下列选项中为 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形是（ ）
$\text{A.}$ $y_1^2$ ．
$\text{B.}$ $-y_1^2$ ．
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2$ ．
$\text{D.}$ $y_1^2-y_2^2$ ．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x}=a x_1^2+b x_2^2+a x_3^2+2 c x_1 x_3$ ，当 $a, b, c$ 满足
$\qquad$时， $\boldsymbol{Q}$ 为正定矩阵．
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算不定积分 $\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \ln \frac{\sqrt{a+x}}{2 a-x} d x(a>0)$ ．