解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $z=x^3+y^3-3 x^2-3 y^2$ 的极值．
求函数 $f(x, y)=x y(a-x-y)$ 的极值．
求由方程 $x^2+y^2+z^2-2 x+2 y-4 z-10=0$ 所确定函数 $z=z(x, y)$ 的极值．
求函数 $f(x, y)=x^2+y^2-3$ 在条件 $x-y+1=0$ 下的极值．
求函数 $z=x^2+y^2-12 x+16 y$ 在 $x^2+y^2 \leqslant 25$ 上的最大值与最小值．
在椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 上求一点，使其到直线 $2 x+3 y-6=0$ 的距离最短．
求两球 $x^2+y^2+z^2=16$ 与 $x^2+y^2+z^2+2 x+2 y+2 z=24$ 交线的最高点与最低点．
设某厂生产甲乙两种产品，产量分别为 $x, y$（千只），其利润函数为
$$
L(x, y)=-x^2-4 y^2+8 x+24 y-15 .
$$
如果现有原料 15000 千克（不要求用完），生产两种产品每千只都需要原料 2000 千克，求
（1）使利润最大的 $x, y$ 和最大利润；
（2）如果原料降至 12000 千克，求这时利润最大的产量和最大利润．