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蔡徐坤

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{2}{3} x^{3}, x \leq 1 \\ x^{2}, x > 1 \end{cases}

则

f (x)

在

x = 1

处的

A.

左，右导数都存在．

B.

左导数存在，右导数不存在．

C.

左导数不存在，右导数存在．

D.

左，右导数都不存在．

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2. 设

f (x)

可导，

F (x) = f (x) (1 + | \sin x |)

，则

f (0) = 0

是

F (x)

在

x = 0

处可导的（）

A.

充分必要条件．

B.

充分条件但非必要条件．

C.

必要条件但非充分条件．

D.

既非充分条件又非必要条件．

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

3. 已知

A

是 3 阶方阵，特征值为

1, 2, 3

，则

| A |

的元素

a_{11}, a_{22}, a_{33}

的代数余子式

A_{11}, A_{22}, A_{33}

的和

\sum_{i = 1}^{3} A_{i i} =

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4. 设

A

是 5 阶方阵，满足

A^{5} = O

．则

| A + 3 E | =

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5. 求曲线

y = \frac{1}{x}

在点

(\frac{1}{2}, 2)

处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．

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三、解答题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 设

y = y (x)

满足

x^{2} y^{'} + y = x^{2} e^{\frac{1}{x}} (x \neq 0)

, 且

y (1) = 3 e

.
(I) 求

y = y (x)

的全部渐近线方程;
(II) 讨论曲线

y = y (x)

与

y = k (k > 0)

不同交点的个数.

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lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{x^{3} + 3 x^{2}} - \sqrt[4]{x^{4} - 2 x^{3}})

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