单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)>0$, 则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的极大值.
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值.
$\text{C.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 极小值.
$\text{D.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
设 $\alpha(x)=\frac{1-x}{1+x}, \beta(x)=3-3 \sqrt[3]{x}$, 则当 $x \rightarrow 1$ 时 $($ )
$\text{A.}$ $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是同阶无穷小, 但不是等价无穷小;
$\text{B.}$ $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$是等价无穷小;
$\text{C.}$ $\alpha(x)$ 是比 $\beta(x)$ 高阶的无穷小;
$\text{D.}$ $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 高阶的无穷小.
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-1}$ 有水平渐近线 ________ 和铅直渐近线 ________
函数 $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的无穷间断点的个数为
函数 $y=\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}$ 的定义域为
若 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0+\Delta x\right)}{\Delta x}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算由摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 相应于 $0 \leq t \leq 2 \pi$ 的一拱与直线 $y=0$ 所围成的图形分别绕 $x$ 轴、 $y$ 轴旋转而成的旋转体体积
设连续函数 $f(x)$ 的原函数为 $\frac{\sin x}{x}$, 试求不定积分 $\int x f^{\prime}(x) d x$.
求由方程 $y^2+2 \ln y=x^4$ 所确定的隐函数 $y$ 的导数$\frac{d y}{d x}$
假设某种商品的需求量 $Q$ 是单价 $P$ 的函数 $Q=12000-80 P$, 商品的总成本 $C$ 是需求量 $Q$ 的函数 $C=25000+50 Q$, 每单位商品需纳税 2 . 试求使销售利润最大的商品价格和最大利润.
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e^{x+y}+\sin (x y)=1$ 确定, 求 $y^{\prime}(x)$ 以及 $y^{\prime}(0)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1+x+x^2-3}{1-x^3}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x \cdot \sin ^2 x}$.
设函数 $y=y(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{c}e^y+t y=e \\ x=\ln (1+\sin t)\end{array}\right.$ 所确定, 求 $\frac{d y}{d x},\left.d y\right|_{t=0}$.
设 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续, 且在 $(0, \pi)$ 内可导, 证明至少存在一点 $\xi \in(0, \pi)$, 使
$$
f(\xi) \cot \xi+f^{\prime}(\xi)=0 .
$$