解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{g(x)-e^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 有二阶连续导数，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$.
(1) 求 $f^{\prime}(x)$ ；
(2) 讨论 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续性.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(b) $ 求证: 在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$.
已知一抛物线通过 $x$ 轴上的两点 $A(1,0), B(3,0)$.
(1) 求证: 两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于 $x$ 轴与该抛物线所围图形的面积；
(2) 计算上述两个平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.