一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{m x}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(1)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=1$
设函数 $z=x y f\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $f(u)$ 可导, 若 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=x y(\ln y-\ln x)$, 则
$\text{A.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=0$
$\text{B.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$
已知数列 $\left\{x_n\right\}$, 其中 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\sin x_n\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\cos x_n\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\sin x_n\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n$ 存在, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\cos x_n\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos x_n$ 存在, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$I_1=\int_0^1 \frac{x}{2(1+\cos x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{\ln 1+x}{1+\cos x} d x, I_3=\int_0^1 \frac{2 x}{1+\sin x} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
下列是矩阵 $A_{3 \times 3}$ 可对角化充分而非必要条件是
$\text{A.}$ 矩阵 $A_{3 \times 3}$ 有三个不同特征值
$\text{B.}$ 矩阵 $A_{3 \times 3}$ 有三个线性无关特征向量
$\text{C.}$ 矩阵 $A_{3 \times 3}$ 的任意两个特征向量正交
$\text{D.}$ 矩阵 $A_{3 \times 3}$ 有三个不同特征值
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵, $E$ 为单位矩阵, 若方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解, 则
$\text{A.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{ll}A & O \\ E & B\end{array}\right] y=0$ 只有零解.
$\text{B.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{cc}E & A \\ O & A B\end{array}\right] y=0$ 只有零解.
$\text{C.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{ll}A & B \\ O & B\end{array}\right] y=0$ 与 $\left[\begin{array}{ll}B & A \\ O & A\end{array}\right] y=0$ 同解.
$\text{D.}$ 方程组 $\left[\begin{array}{cc}A B & B \\ O & A\end{array}\right] y=0$ 与 $\left[\begin{array}{cc}B A & A \\ O & B\end{array}\right] y=0$ 同解.
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ \lambda\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right)$, 若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 等价, 则 $\lambda$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\{0,1\}$
$\text{B.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R, \quad \lambda \neq-2\}$
$\text{C.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R, \quad \lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$
$\text{D.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R, \quad \lambda \neq-1\}$
设随机变量 $X \sim U(0,3)$, 随机变量 $Y \sim \lambda(2)$, 且 $X, Y$ 的协方差 $\operatorname{cov}(X, Y)=-1$, 则 $D(2 X-Y+1) $
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
二、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求函数极限: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x \cdot(1+x)^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{e x}\right)$.
求定积分: $I=\int_0^{2024} \frac{x}{e^{2024-x}+e^x} \mathrm{~d} x$.
设椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 在 $A\left(1, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$ 点的切线交 $y$ 轴于 $B$ 点，设 $L$ 为从 $A$ 到 $B$ 的直线段，试计算曲线积分:
$I=\int_L\left(\frac{\sin y}{x+1}-\sqrt{3} y\right) \mathrm{d} x+[\cos y \cdot \ln (x+1)+2 \sqrt{3} x-\sqrt{3}] \mathrm{d} y$
讨论 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p-1}+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x,(p \geq 0)$ 的条件收敛和绝对收敛性.
求函数 $f(x)=\int_0^x \frac{\ln (1+2 t)}{t} \mathrm{~d} t$ 的麦克劳林级数级数.
令 $F(x)=-\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{e}\right)+\int_{-1}^1|x-t| e^{-t^2} \mathrm{~d} t$, 讨论方程 $\boldsymbol{F}(x)=0$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上实数根的个数.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{|x|^a|y|^a}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，证明:
(1) 当 $a>1$ 时， $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续.
(2) 当 $a>\frac{3}{2}$ 时， $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
证明: 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上点点收敛，但并非一致收敛.
(1) 已知 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(a x+b)]=0$.求 $a, b$.
(2) 设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，设函数 $g(x)$在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0$. 证明: 函数 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续.
(3) 用 (2) 的结论说明: $f(x)=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上一致连续.
(4) 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上可导，且存在常数 $a_1, a_2, b_1, b_2,\left(a_1 < a_2\right)$ ，使得
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow-\infty}\left[f(x)-\left(a_1 x+b_1\right)\right]=0 \\
& \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)-\left(a_2 x+b_2\right)\right]=0
\end{aligned}
$$
证明：对任意的 $c \in\left(a_1, a_2\right)$ ，存在 $\xi \in(-\infty,+\infty)$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=c .
$$
(1) 证明: 狄利克雷积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin (\alpha x)}{x} \mathrm{~d} x$ 在不含数值 $\alpha=0$ 的每一个闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛，在每一个包含数值 $\alpha=0$ 的闭区间 $[a, b]$ 上非一致收敛.
(2) 已知 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}$ ，求 $F(x)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2(x t)}{t^2} \mathrm{~d} t$ ，其中 $\boldsymbol{x}>\mathbf{0}$.