一、单选题 （共 10 题，每小题 1 分，共 10 分，每题只有一个选项正确）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \sin t^2 \mathrm{~d} t}{x^6}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $1$
下列各式正确的是:
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin x}{x}=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=-e$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x^2}{1+b x}$ 与 $x^3$ 是同阶无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\tan ^2 x\right)-x^2}{x^4}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 1/2
$\text{C.}$ 1/6
$\text{D.}$ 1/4
$x=0$ 是函数 $f(x)=\arctan \frac{1}{x}$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 连续点
$\text{D.}$ 无穷间断点
函数 $f(x)$ 的定义域为 $(a, b)$, 导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内的图像如图所示, 则函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有极小值点
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
如果 $f(x)$ 在 $x$ 处可微, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y-\mathrm{d} y}{\Delta x}$ 的值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不确定
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 25 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}+\sin ^3 x\right) \mathrm{d} x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)=$
$\int_9^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$
设 $y=\mathrm{e}^{\sqrt{\cos x}}$, 则 $\mathrm{d} y=$
三、解答题 （ 共 10 题，满分 65 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 问 $a=?, \quad b=?$ 。
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{4 x-\sin 4 x}{8 x^2 \sin x}$ 。
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x^3+y^3-3 x+3 y-2=0$ 确定, 求函数 $y=y(x)$ 在 $x=1, y=1$处的一阶导数值、二阶导数值。
考察函数 $y=\frac{x^2+3 x+2}{2(x-1)}$ 的铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。
设 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^2 \\ y=1+t^3\end{array}\right.$, 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$.
求函数 $y=\ln \left(x^2+1\right)$ 的图形的拐点和凹凸区间
过点 $(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线. (1) 求该切线方程; (2) 求由这条切线、抛物线及 $x$ 轴所围成的平面图形面积; (3) 求 (2) 中平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积.
$ \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos x}{\left(\mathrm{e}^{2 x}-1\right) \ln (1-x)}$
$ \int \frac{x}{1+\cos 2 x} d x$
求由曲线 $ y=2 x, x y=2, y=\frac{x^2}{4} $ 所围成平面图形的面积.