一、单选题 （共 16 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是:
$\text{A.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{B.}$ $\ln \left(\frac{1+x}{1-\sqrt{x}}\right)$
$\text{C.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
设 $x=a$ 为函数 $y=f(x)$ 的极值点, 则下列论述正确的是
$\text{A.}$ $f(a)=0$
$\text{B.}$ $f'(a)=0$
$\text{C.}$ $f''(a)=0$
$\text{D.}$ 以上都不对
若曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 与直线 $y=a x(a>0)$ 有两个交点, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$.
$\text{C.}$ $(1, \mathrm{e})$.
$\text{D.}$ $(e,+\infty)$.
关于无穷小量, 哪一个是正确的
$\text{A.}$ 无穷小量是以零为极限的函数
$\text{B.}$ 无穷小量就是数 0
$\text{C.}$ 无穷小量就是一个很小的数
$\text{D.}$ 0 不是无穷小
下列极限正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}=1$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin 2 x}{x}=1$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\infty$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $-2$
函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n+2}{x^n+1}$ 的间断点及类型是
$\text{A.}$ $x=1$ 是第一类间断点, $x=-1$ 是第二类间断点
$\text{B.}$ $x=1$ 是第二类间断点, $x=-1$ 是第一类间断点
$\text{C.}$ $x=\pm 1$ 均是第一类间断点
$\text{D.}$ $x=\pm 1$ 均是第二类间断点
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$, 则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内
$\text{A.}$ 处处可导.
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点.
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点.
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点.
设 $f(x)=\frac{\left|x^2-1\right|}{x^2-x-2} \arctan \frac{1}{x}$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个可去间断点, 一个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有两个可去间断点,一个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有两个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点, 两个第二类间断点
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2+b x+1-e^{x^2-2 x}}{x^2} =2$, 则
$\text{A.}$ $a={5}, b=-2$.
$\text{B.}$ $a=-2, b=5 $
$\text{C.}$ $a={2}, b=0$.
$\text{D.}$ $a={4}, b=-4$.
函数 $f(x)=\frac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}} \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^2 & x \leq 0 \\ x-2 & x>0\end{array}\right.$ 是
$\text{A.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调增加函数
$\text{B.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调减少函数
$\text{C.}$ 在 $(-\infty, 0)$ 单增 $(0,+\infty)$ 单减函数
$\text{D.}$ 在 $(-\infty, 0)$ 单减 $(0,+\infty)$ 单增函数
设曲线 $L: y=f(x)$, 其中 $f(x)$ 为连续函数, $f^{\prime}(x)$ 的图象如图所示, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个极大值点, 两个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有两个拐点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有两个拐点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有一个极大值点, 一个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有两个拐点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线 $y=f(x)$ 有一个拐点
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ 处连续, 且 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin (x-a)}{f^{\prime}(x)}=-1$, 则
$\text{A.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{B.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ $(a, f(a))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ 的邻域内单调.
$x=0$ 是函数 $f(x)=\arctan \frac{1}{x}$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 连续点
$\text{D.}$ 无穷间断点
函数 $f(x)$ 的定义域为 $(a, b)$, 导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内的图像如图所示, 则函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有极小值点
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right]=$
已知 $f^{\prime}(1)=8$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(1-x^2\right)-f(1)}{1-\cos x}=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{2}{\sqrt{n^2+n}}\right)=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^3-1}{x-1}=$
若 $x^2-a \sin x$ 和 $x$ 是 $x \rightarrow 0$ 时的等价无穷小, 则 $a=$.
函数 $f(x)=\frac{\sqrt{1+2 x}-1}{x(x+1)(x-2)}$ 的无穷间断点为 ________ , $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=$
三、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2+3 \sin x)^x-2^x}{\tan ^2 x-4 x^3}$.
设 $f(x)=g(x)(\sqrt{x}-1)$, 其中 $g(x)$ 在点 $x=1$ 处连续且 $g(1)=2$, 求 $f^{\prime}(1)$.
求函数 $f(x)=x^4-4 x^3$ 的单调区间和极值.
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+2 x}{\left(e^x-1\right)(x+2)}, & x < 0 \\ \frac{x}{x-1}, & x \geq 0\end{array}\right.$ 的间断点, 并判断类型。
列表讨论函数 $y=x^{\frac{5}{3}}-5 x^{\frac{2}{3}}$ 的单调区间、极值点、凹凸区间及拐点。