唐绍东笔记《连续性与间断点》

解答题

设 $f(x)$ 对 $(-\infty,+\infty)$ 内一切 $x$ 有 $f\left(x^2\right)=f(x)$, 且 $f(x)$ 在 $x=0, x=1$ 连续. 证明: $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上为常数.

设 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有定义, 且 $e^{x f(x)}$ 和 $e^{-f(x)}$ 都在 $(0,1)$ 内单调不减, 求证: $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续.