二重积分
单选题
设函数 $f(x, y)$ 连续，则二次积分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \mathrm{d} x \int_{\sin x}^1 f(x, y) \mathrm{d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\pi+\text { arcsiny }}^\pi f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\pi-\arcsin y}^\pi f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi+\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\operatorname{srcsin} y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
设函数 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^2 f(x, y) \mathrm{d} y+\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_1^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{B.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{C.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_1^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^2 f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可以写成
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{x-x}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
设 $D$ 是第一象限中曲线 $2 x y=1,4 x y=1$ 与直线 $y=x, y=\sqrt{3} x$ 围成的平面区域，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
$\text{B.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin ^2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
$\text{C.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ ．
$\text{D.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ ．
设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_1$是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_D(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于
$\text{A.}$ $2 \iint_{D_1} \cos x \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
$\text{B.}$ $2 \iint_{D_1} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
$\text{C.}$ $4 \iint_{D_1}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
$\text{D.}$ 0 ．
填空题
设平面区域 D 由直线 $y=x$ ，圆 $x^2+y^2=2 y$ 及 y 轴所组成，则二重积分$\iint_D x y \mathrm{~d} \sigma=$
$\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^1 \sqrt{x^3+1} \mathrm{~d} x=$
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ，则 $\iint_D\left(x^2-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
解答题
计算二重积分 $\iint_D \mathrm{e}^{x^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是第一象限中由直线 $y=x$ 和 $y=x^3$ 围成的封闭区域。
设平面区域 $D$ 由直线 $x=3 y, y=3 x$ 及 $x+y=8$ 围成，计算 $\iint_D x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
计算积分 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant x, x^2+y^2 \leqslant 2 x\right\}$
计算二重积分 $\iint_D(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，
其中 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-1)^2 \leqslant 2, y \geqslant x\right\}$ 。