科数网-线性变换
单选题
$\alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 $\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ ，则 $T(\alpha)$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 ．
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$
设 $T$ 是三维行向量空间 $P^3$ 上的变换，下列 $T$ 是线性变换的是 ．
$\text{A.}$ $T\left(a_1, a_2, a_3\right)=\left(a_1, a_2+a_3, a_1-a_3\right)$
$\text{B.}$ $T\left(a_1, a_2, a_3\right)=\left(a_1^2, a_2^2, a_3^2\right)$
$\text{C.}$ $T\left(a_1, a_2, a_3\right)=\left(a_1^3, a_2, a_3\right)$
$\text{D.}$ $T\left(a_1, a_2, a_3\right)=\left(a_1, a_1 a_2, a_1+a_2+a_3\right)$
填空题
设 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $T$ 将空间的一组基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 变为
$$
T\left(\alpha_1\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), T\left(\alpha_2\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), T\left(\alpha_3\right)=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right)
$$
$\alpha=2 \alpha_1-\alpha_2+\alpha_3$ ，则 $T$ 将 $\alpha$ 变为
$R^3$ 上的线性变换 $T$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 0
\end{array}\right)
$$
$\alpha=\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3$ ，则 $T \alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 $\_\_\_\_$．
解答题
在空间 $C[a, b]$ 上，定义变换 $T$ 为
$$
T(f(x))=\int_a^x f(t) \cos t \mathrm{~d} t, \forall f(x) \in C[a, b]
$$
判断 $T$ 是否是线性变换．
线性空间 $R^4$ 上的线性变换 $T, S$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 下的矩阵分别为
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
（1） 求线性变换 $T+S, T S$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 下的矩阵；
（2） $T$ 与 $S$ 是否是可逆变换，如果是，求出它们的逆变换在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$下的矩阵．
在 $P^3$ 上定义线性变换 $T$ ：
$$
T\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(2 x_1-x_2, x_2+x_3, x_1\right)
$$
（1）求 $T$ 在基 $\varepsilon_1=(1,0,0), \varepsilon_2=(0,1,0), \varepsilon_3=(0,0,1)$ 下的矩阵；
（2）设 $\alpha=(1,0,-2)$ ，求 $T(\alpha)$ 在基 $\alpha_1=(2,0,1), \alpha_2=(0,-1,1)$ ， $\alpha_3=(-1,0,2)$ 下的坐标；
（3）$T$ 是否可逆，若可逆，求 $T^{-1}$ ．
设 $T$ 是线性空间 $R^3$ 上的线性变换，$T$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 3
\end{array}\right)
$$
（1）求 $T$ 的像集的一组基和 $T$ 的秩；
（2）求 $T$ 的核的一组基和 $T$ 的零度．
设 $T$ 是线性空间 $R^3$ 上的线性变换，基
$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
-2
\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
2
\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
5
\end{array}\right)
$$
在 $T$ 下的像分别为
$$
T\left(\alpha_1\right)=\left(\begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-1
\end{array}\right), T\left(\alpha_2\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right), T\left(\alpha_3\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
2
\end{array}\right)
$$
求 $T$ 在基 $\beta_1=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \beta_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ 下的矩阵．
设线性空间 $R^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $T$ 为
$$
\begin{gathered}
T(X)=A X, \quad \forall X \in R^{2 \times 2} \\
A=\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$
求 $T$ 在基 $E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的矩阵．