已知三维欧氏空间 ${ }^{+}$有一组基 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ ，其度量矩阵 ${ }^{+}$为

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 3
\end{array}\right],
$$


则向量 $\beta=2 \alpha_1-\alpha_2+2 \alpha_3$ 的长度为

记 $\mathbb{P}_2[x]$ 为所有次数不超过二次的多项式全体按多项式加法、数乘所构成的线性空间， $\mathcal{A}$ 是 $\mathbb{P}_2[x]$ 上的线性变换 $ \mathcal{A}(p(x))=p^{\prime}(x)$ ，则线性变换 $\mathcal{A}$ 的特征值 $ \lambda=$
$\_\_\_\_$ ，属于特征值 $\lambda$ 的特征子空间为 $\_\_\_\_$。

已知线性变换 $\mathcal{A}$ 在基 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 下的矩阵表示为

$$
A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right],
$$


则 $\mathcal{A}$ 在基 $\left\{\alpha_1+\alpha_3, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3\right\}$ 下的矩阵表示为

已知三阶实方阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足 $A^*=-A^{\top}$ ，其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，且 $a_{11}=a_{12}=a_{13}=t < 0$ ，则 $t=$

设二次型

$$
Q\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+t x_3^2+2 x_1 x_2+4 x_1 x_3+6 x_2 x_3
$$


的秩为 2 ，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ，$Q\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的正惯性指数为

在 $\mathbb{R}^3$ 中定义变换

$$
\mathcal{A}\left(\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\top}\right)=\left(x_1+3 x_2-3 x_3, 3 x_1+x_2-3 x_3,-x_3\right)^{\top} .
$$

（i）证明： $\mathcal{A}$ 是线性变换；
（ii）求 $\mathcal{A}$ 在基 $e_1=(1,0,0)^{\mathrm{T}}, e_2=(0,1,0)^{\mathrm{T}}, e_3=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵表示；
（iii）是否存在 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，使得 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵表示为对角矩阵？若存在，求出这组基，否则给出不存在的理由。

记 $\mathbb{P}_2[x]$ 为实数域 $\mathbb{R}$ 上所有次数不超过二次的多项式全体按多项式加法、数乘所构成的线性空间。对任意的多项式 $p(x), q(x) \in \mathbb{P}_2[x]$ ，定义

$$
\langle p, q\rangle=\int_{-1}^1 p(x) q(x) x^2 \mathrm{~d} x
$$

（i）证明：$\langle p, q\rangle$ 是线性空间 $\mathbb{P}_2[x]$ 上的一个内积；
（ii）求内积 $\langle p, q\rangle$ 在基 $\left\{1, x, x^2\right\}$ 下的度量矩阵 $G$ ；
（iii）利用 Schmidt 正交化 ${ }^{+}$将基 $\left\{1, x, x^2\right\}$ 改造为关于该内积的一组标准正交基。

已知二次型

$$
Q\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 b x_2 x_3
$$


经正交变换 $X=P Y$ 化为标准型 $Q\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_2^2+2 y_3^2$ ，求参数 $a, b$ 的值及所用的正交矩阵 $P$ 。

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称方阵，证明 $A$ 为半正定方阵的充分必要条件为：对任意的 $n$ 阶半正定矩阵 $B$ ，满足 $\operatorname{tr}\left(A^{\top} B\right) \geq 0$ 。