沈阳农业大学理学院第一学期《高等代数》期末考试试卷
填空题
设 $f(x)=x^4+x^2+4 x-9$ ，则 $f(-3)=$
当 $t=$ $\_\_\_\_$时，$f(x)=x^3-3 x+t$ 有重因式
令 $f(x), g(x)$ 是两个多项式，且 $f\left(x^3\right)+x g\left(x_3^3\right)$ 被 $x 2+x+1$ 整除，则 $f(1)=$ $\_\_\_\_$ ，$g(1)=$ $\_\_\_\_$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}
3 & 1 & 0 & 2 \\
-1 & 0 & 6 & 2 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
-3 & -2 & 0 & 1
\end{array}\right|=$
矩阵的积 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{lll}5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right)^{-1}=$
$\left\{\begin{array}{l}
x_1+2 x_2+2 x_3+x_4=0 \\
2 x_1+x_2-2 x_3-2 x_4=0 \\
x_1-x_2-4 x_3-3 x_4=0
\end{array}\right.$ 通解是
解答题
$a, b$ 取何值时，线性方程组
$$
\begin{cases}
a x + b y + 2z = 1 \\
a x + (2b-1) y + 3z = 1 \\
a x + b y + (b+3) z = 2b-1
\end{cases}
$$
有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。
设 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 都是非零实数，设
$$
D_1=
\begin{vmatrix}
1+a_1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 1+a_2 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 1 & 1+a_3 & \dots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \dots & 1
\end{vmatrix},\quad
D_2=
\begin{vmatrix}
1+a_1 & 1 & 1 & \dots & 0 \\
1 & 1+a_2 & 1 & \dots & 0 \\
1 & 1 & 1+a_3 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \dots & a_n
\end{vmatrix}
$$
计算 $D=D_1+D_2$
证明 $f(x)=x^4+1$ 在有理数域上不可约。
令 $A$ 为数域 $F$ 上秩为 $r$ 的 $m \times n$ 矩阵，$r>0$ 。求证：存在秩为 $r$ 的 $m \times r$ 矩阵 $F$ 和秩为 $r$ 的 $r \times n$ 矩阵 $G$ ，使得 $A=F G$ 。
设 $A, B$ 是 $n \times n$ 矩阵，且 $A+B, A-B$ 可逆。求证 $2 n \times 2 n$ 矩阵 $P=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right)$ 可逆，且求 $P^{-1}$ 。
证明题
令 $f(x), g(x)$ 是两个多项式。求证 $(f(x), g(x))=1$ 当且仅当$(f(x)+g(x), f(x) g(x))=1$