北京石油化工学院大一高等数学上册期末考试卷及答案

单选题

曲线 $y=x^2, x=1, y=0$ 所围成的图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积 $V=$

$\text{A.}$ $\int_0^1 \pi x^4 d x$ $\text{B.}$ $\int_0^1 \pi y d y$ $\text{C.}$ $\int_0^1 \pi(1-y) d y$ $\text{D.}$ $\int_0^1 \pi\left(1-x^4\right) d x$

下列各组函数中，是相同函数的是（）．

$\text{A.}$ $f(x)=|x|$ 和 $g(x)=\sqrt{x^2}$ $\text{B.}$ $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 和 $y=x+1$ $\text{C.}$ $f(x)=x$ 和 $g(x)=x\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)$ $\text{D.}$ $f(x)=\ln x^2$ 和 $g(x)=2 \ln x$

下列定积分为零的是．

$\text{A.}$ $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\arctan x}{1+x^2} d x$ $\text{B.}$ $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x \arcsin x d x$ $\text{C.}$ $\int_{-1}^1 \frac{e^x+e^{-x}}{2} d x$ $\text{D.}$ $\int_{-1}^1\left(x^2+x\right) \sin x d x$

曲线 $y=x \ln x$ 的平行于直线 $x-y+1=0$ 的切线方程为．

$\text{A.}$ $y=x-1$ $\text{B.}$ $y=-(x+1)$ $\text{C.}$ $y=(\ln x-1)(x-1)$ $\text{D.}$ $y=x$

下列各微分式正确的是

$\text{A.}$ $x d x=d\left(x^2\right)$ $\text{B.}$ $\cos 2 x d x=d(\sin 2 x)$ $\text{C.}$ $d x=-d(5-x)$ $\text{D.}$ $d\left(x^2\right)=(d x)^2$

$\int f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right) \frac{1}{x^2} d x$ 的结果是．

$\text{A.}$ $f\left(-\frac{1}{x}\right)+C$ $\text{B.}$ $-f\left(-\frac{1}{x}\right)+C$ $\text{C.}$ $f\left(\frac{1}{x}\right)+C$ $\text{D.}$ $-f\left(\frac{1}{x}\right)+C$

方程是一阶线性微分方程

$\text{A.}$ $x^2 y^{\prime}+\ln \frac{y}{x}=0$ $\text{B.}$ $y^{\prime}+e^x y=0$ $\text{C.}$ $\left(1+x^2\right) y^{\prime}-y \sin y=0$ $\text{D.}$ $x y^{\prime} d x+\left(y^2-6 x\right) d y=0$

设 $a>0$ ，则 $\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} d x=(\quad)$ ．

$\text{A.}$ $a^2$ $\text{B.}$ $\frac{\pi}{2} a^2$ $\text{C.}$ $\frac{1}{4} a^2$ $\text{D.}$ $\frac{1}{4} \pi a^2$

填空题

求抛物线 $y=x^2$ 与 $y=2-x^2$ 所围成的平面图形的面积．

不定积分 $\int x \ln x d x=$

$\int_{-1}^1 x^3 \cos x d x=$

微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$ 的通解是

已知 $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-2 x+k}{x-3}=4$ ，则 $k=$

解答题

求方程 $x^2 y^{\prime}+x y=y$ 满足初始条件 $y\left(\frac{1}{2}\right)=4$ 的特解．

求曲线 $y^2=2 x$ 和直线 $y=x-4$ 所围图形的面积．

求不定积分 $\int \frac{1}{x \sqrt{2+\ln x}} d x$ ；

求 $y=\sqrt{1-x^2} \arccos x$ 的导数；

求由曲线 $y=x^2+1$ ，直线 $y=0, x=0$ 和 $x=1$ 所围成的平面图形的面积，以及此图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体的体积．