复变函数《复函数》专题训练
解答题
将 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{z+z^*}{2} \\ y=-i \frac{z-z^*}{2}\end{array}\right.$ 表示成 $f\left(z, z^*\right)$（其实任何二元函数都可以这样表示），下面我们来证明对 $z, z^*$ 求导可写成：
$$
\left\{\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y}\right) \\
\frac{\partial}{\partial z^*}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial}{\partial y}\right)
\end{array}\right.
$$
证明函数解析的条件为 $u, v$ 在区域内可微，且 $\frac{\partial f}{\partial z^*}=0$（即 $\frac{\partial f}{\partial z^*}=0$ 为 C－R 条件）．
证明函数 $\omega=f(z)=z^*$ 在复平面内处处连续却处处不可导．
证明函数 $\omega=f(z)=(\operatorname{Re} z)^2$ 在 $z=0$ 处可导，但不解析．
证明函数 $\omega=f(z)=|z|^2$ 只在 $z=0$ 处可导，但处处不解析．
考查函数 $\omega=f(z)=x^2-i y$ 的解析性质．
由实部 $u=x^2-y^2$ 确定 $v$ 和 $f$ ．
当 $x>0$ 时，求对数函数 $\operatorname{Ln}(-x)$ ．
伯努利悖论：看看以下的推导错了吗？问题出在哪？
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Ln}(-z)^2 & =\operatorname{Ln} z^2 \\
\operatorname{Ln}[(-z)(-z)] & =\operatorname{Ln}(z z) \\
\operatorname{Ln}(-z)+\operatorname{Ln}(-z) & =\operatorname{Ln} z+\operatorname{Ln} z \\
2 \operatorname{Ln}(-z) & =2 \operatorname{Ln}(z) \\
\operatorname{Ln}(-z) & =\operatorname{Ln}(z) .
\end{aligned}
$$
证明题
证明 $u(z)=\ln |z|^2$ 是调和函数．
证明函数 $f(z)=\sqrt{|x y|}$ 在 $z=0$ 不可导，但满足可导的条件．
证明 $(\cos \phi+i \sin \phi)^n=\cos n \phi+i \sin n \phi$ ．