2024年福建师大高二年级10月月考数学试卷

单选题

已知向量 $\vec{a}=(2,-1,4), \vec{b}=(x, y,-8)$, 若 $\vec{a} / / \vec{b}$, 则 $x+y=$

$\text{A.}$ -6 $\text{B.}$ -2 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 6

已知点 $P$ 是棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 上一点 (包括边界), 则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的取值范团是（）

$\text{A.}$ $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ $\text{B.}$ $[2,4]$ $\text{C.}$ $\left[\frac{1}{2}, 4\right]$ $\text{D.}$ $[1,4]$

解答题

如图, 在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $D$ 为棱 $A B$ 的中点, $E$ 为侧棱 $C C_1$ 的动点, 且 $C E=\lambda C C_1(0 < \lambda < 1)$.
(1) 是否存在实数 $\lambda$, 使得 $D E / /$ 平面 $A B_1 C_1$ ? 若存在, 求出 $\lambda$ 的值; 若不存在, 请说明理由;
(2) 设 $A B=A A_1=4, A C=3, B C=5$, 求 $D E$ 与平面 $A B B_1 A_1$ 所成角的正弦值的取值范围.