填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设集合 $A=\{2,3,4, \cdots, 4050\}$, 集合 $B=\left\{(a, b) \mid \log _a b+8 \log _b a=6, a \in A, b \in A\right\}$, 则集合 $B$ 的元素个数为
设复数 $z$ 满足 $\frac{4 z-2}{2 \bar{z}-1}+|z|^2=0$, 则 $|z+1|$ 的值为
$P$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ 面 $B C D$ 的中心, $M, N$ 分别是面 $A B D, A C D$ 上的动点,则 $P M+M N+N P$ 的最小值为
$\frac{\cos ^2 20+\cos ^2 40+\cos ^2 80}{\sin ^4 20+\sin ^4 40+\sin ^4 80}$ 的值为
设 $b, c$ 为实数, 满足关于 $x$ 的方程 $f^2(x)+b f(x)+c=0$ 有 6 个互不相等的实数解, 其中 $f(x)=\left|x-\frac{1}{x}\right|-\left|x+\frac{1}{x}\right|+2$, 则 $f(2025 b)+f(c+2024)$ 的最小值为
正实数 $x, y, z$ 满足 $x+2 y^2+4 x^2 y^2 z^2=8$, 则 $\log _4 x+\log _2 y+\log _8 z$ 的最大值为
平面上同时和三直线 $y=\frac{3}{4} x, y=-\frac{4}{3}(x-5), y=0$ 相切的所有圆的半径的乘积为
已知正整数 $n$ 的所有正因数排列为： $1=d_1 < d_2 < d_3 < \cdots$, 则在 $1,2,3, \cdots, 2024$ 中使得 $d_{10}=88$的所有数之和为
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
双曲线 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右顶点 $A, B$ 的距离为 $4, M, N$ 是 $\Gamma$ 右支上不重合的两动点且满足 $k_{B N}+2 k_{A M}=0$ ( $k_{A M}, k_{B N}$ 是相应直线的斜率). 求动直线 $M N$ 经过的定点的坐标.
实数 $a, b, c$ 满足 $a b+b c+c a=44$, 求 $\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)$ 的最小值.
点 $H$ 为锐角 $\triangle A B C$ 的垂心, $\odot H$ 与边 $B C$ 切于点 $M$ 且与边 $A B, A C$ 无交点, $B D, C E$分别与 $\odot H$ 切于点 $D, E$ (均异于 $M$ ), $C F, B G$ 为 $\triangle A B C$ 的高. 证明: $D, E, F, G$ 四点共线.
是否存在实数 $\lambda$ 和 2024 次的实系数多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 满足对任意实数 $x$, 都有 $P\left(x^2-x+1\right)=Q\left(x^2+2 x+\lambda\right)$. 请说明理由.