单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
曲面 $x^2-4 y^2+2 z^2=6$ 上点 $(2,2,3)$ 处的法线方程为
$\text{A.}$ $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-3}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-3}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{3}$
设 $D$ 是矩形域: $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4},-1 \leqslant y \leqslant 1$,则 $\iint_D x \cos (2 x y) d \sigma=$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
设 $L$ 是以 $A(-1,0), B(-3,2)$ 及 $C(3,0)$ 为顶点的三角形域的围界沿 $A B C A$ 方向, 则 $\oint_L(3 x-y) d x+(x-2 y) d y=$.
$\text{A.}$ -8
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 20
若幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x+2)^n$ 在 $x=-5$ 处收敛,则其在 $x=0$ 处是
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 收敛性不能确定
函数 $y=\frac{x^3}{6}+C x$ ( $C$ 为任意常数) 是微分方程 $\frac{d^2 y}{d x^2}=x$ 的
$\text{A.}$ 通解
$\text{B.}$ 特解
$\text{C.}$ 不是解
$\text{D.}$ 是解，但既非通解，又非特解
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{2+x y}-\sqrt{2}}=$
已知 $D: x^2+y^2 \leqslant 1, y \geqslant 0$, 则 $\iint_D\left(x^3 \cos y+y\right) d x d y=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{4}=1 \\ y=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转而成的旋转曲面方程为
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}$ 的和函数是 $S(x)=$
微分方程 $\frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{d y}{d x}-6 y=0$ 的通解是
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设由 $\ln \sqrt{x^2+y^2}=\arctan \frac{y}{x}$ 确定了 $y=y(x)$, 求 $\frac{d y}{d x}$.
$\iint_D\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}} d x d y$, 其中积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x \geq 0\right\}$.
$I=\oint_L x d y-2 y d x$, 其中 $L$ 为正向圆周 $x^2+y^2=2$ 在第一象限中的部分.
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a^n}(a>0)$ 的敛散性.
求微分方程 $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y}{6 x-y^2}$ 的通解.
$z=f\left(x^2-y^2, e^{x y}\right)$, 其中 $f$ 具有连续二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2+4 x+3}$ 展开成 $x-1$ 的幕级数.
求微分方程 $y y^{\prime \prime}=2\left(y^{\prime 2}-y^{\prime}\right)$ 满足 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=2$ 的特解.
求椎面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $z^2=2 x$ 所割下部分的曲面面积.
设 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧, 求$I=\oint_{\Sigma} x^3 d y d z+y^3 d z d x+z^3 d x d y$