解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论级数 $1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+\cdots+n}+\cdots$ 的敛散性. 若收敛, 求其和.
已知 $y_1=3, y_2=3+x^2, y_3=3+\mathrm{e}^x$ 是二阶线性非齐次方程的解, 求它的通解和该方程.
设 $f(x)=\sin x-\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 其中 $f$ 为连续函数, 求 $f(x)$.
设 $f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{\sin x}{x}$, 求 $\int x f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x$.
过抛物线 $y=x^2$ 上的一点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ 作切线, $\left(0 \leq x_0 \leq 1\right)$, 问 $M_0$ 取在何处时,该切线与直线 $x=1$ 和 $x$ 轴所围成的三角形面积最大? 并求最大值.
试证: $x>\sin x>x-\frac{x^3}{6},(x>0)$
应用三阶泰勒公式求 $\sin 18^{\circ}$ 的近似值, 并估计误差.
利用麦克劳林公式求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$.
设 $f(x)=\frac{x^5}{(1-x)(1+x)}$, 求 $f^{(9)}(0)$.
若曲线 $y=x^2+a x+b$ 与 $2 y=x y^3-1$ 在点 $(1,-1)$ 处相切, 求常数 $a, b$.
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin x, x>0 \\ a+x^2, x \leq 0\end{array}\right.$, 问 $a$ 为何值时 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 存在? 极限值为多少?