设三维空间中四点 $A, B, C, D$ 所形成的三个向量为 $\overrightarrow{A B}=(2, a, 0), \overrightarrow{A C}= (0,-1,2), \overrightarrow{A D}=(2, b, 1)$ ，其中 $a>0, b < \frac{1}{2}$ ．已知 $\overline{A B}, \overline{A C}$ 作为相邻两边所成的平行四边形的面积为 $2 \sqrt{6}, \overline{A B}, \overline{A C}, \overline{A D}$ 作为共顶点三条棱所成的平行六面体的体积为 2 ．
（1）求 $a, b$ 的值．
（2）求平行于向量 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}$ 且过点 $(2,3,4)$ 的平面的方程．
（3）求函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2+x y z$ 在点 $(1,2,1)$ 的梯度以及在该点沿 $\overrightarrow{A B}$ 方向的方向导数。

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[2,4]$ 上连续，在开区间 $(2,4)$ 上可导且导数大于 0 ，极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(2 x-2)}{x-2}$ 存在．证明：
（1）$f(x)$ 在区间 $(2,4)$ 上取值大于 0 ；
（2）存在 $\xi \in(2,4)$ ，使得

$$
\frac{6 f(\xi)}{\xi}=\int_2^4 f(x) \mathrm{d} x
$$

（3）对上述 $\xi \in(2,4)$ ，存在 $\eta \in(2,4), ~ \eta \neq \xi$ ，使得

$$
6 f^{\prime}(\eta)=\frac{\xi}{\xi-2} \int_2^4 f(x) \mathrm{d} x
$$

（1）写出 $f(x)=\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶带佩亚诺（Peano）余项的泰勒公式．
（2）计算极限

$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\left[2(1+x)^{\frac{1}{x}}+\mathrm{e}(x-2)\right]
$$

设二元函数 $f(x, y)$ 有连续偏导数，$f(1,2)=0$ ， $\left.\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\right|_{(1,2)}=5$ ，且对任意实数 $t$ 都满足 $f(t x, t y)=t^2 f(x, y)$ ．
（1）计算 $\left.\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\right|_{(1,2)}$ ；
（2）计算极限

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_0^x\left\{1+f\left(2 t-2 \sin t+1, \sqrt[3]{1+t^3}+1\right)\right\}^{\frac{1}{\ln \left(1+t^3\right)}} \mathrm{d} t
$$

设 $D=(0,+\infty) \times(-\infty,+\infty)$ ．
（1）若定义在 $D$ 上的二元函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0,(x, y) \in D .
$$


证明：$u(x, y)=f(x)+g(y),(x, y) \in D$ ，其中 $f(x), g(y)$ 是二阶连续可导的函数．
（2）若定义在区域 $D$ 上的二元正值函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足

$$
u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}, \quad(x, y) \in D .
$$


验证 $z=\ln u(x, y)$ 满足

$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=0,(x, y) \in D .
$$

（3）设二元正值函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足

$$
\left\{\begin{array}{l}
u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y},(x, y) \in D . \\
u(x, 0)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, x \in(0,+\infty) ; \\
u(1, y)=\mathrm{e}^{-\frac{1+y^2}{2}}, y \in(-\infty,+\infty) .
\end{array}\right.
$$

试给出 $u(x, y)$ 的表达式．

设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且当 $(x, y) \rightarrow(1,0)$ 时，

$$
f(x, y)=1-x-y+o\left(\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right)
$$


记 $g(x, y)=f\left(\mathrm{e}^{x y}, x^2+y^2\right)$ 。证明：$g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处取到极值，计算这个极值并判断是极大值还是极小值．

设定义域为 $\mathbb{R}^2$ 、值域为区间 $I$ 的二元函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数且处处 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \neq 0$ 。证明：对任意实数 $C \in I$ ，曲线 $f(x, y)=C$ 为直线的充分必要条件是

$$
\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-2 \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0 .
$$