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安徽大学2022-2023《线性代数B》期末考试试卷解析与答案

发布日期 2025/11/24 10:43:15      查看 7      加入组卷      查看作者     
单选题
若 3 阶行列式 $|A|=\left|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right|=2$ ，则 $|B|=\left|\alpha_1, \alpha_3-\alpha_1, 2 \alpha_2\right|=$
$\text{A.}$ 4 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ -2 $\text{D.}$ -4
若向量组（I）$\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_r$ 与向量组（II）$\beta_1, \beta_2, \cdots \beta_s$ 等价，则
$\text{A.}$ $r=s$ $\text{B.}$ $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_r\right)=r\left(\beta_1, \beta_2, \cdots \beta_s\right)$ $\text{C.}$ 若向量组（II）线性无关，则 $r < s$ $\text{D.}$ 若向量组（II）线性相关，则 $r>s$
若非齐次方程组 $A_{m \times n} X=\beta$ 有无穷多解，则其导出组 $A X=0$
$\text{A.}$ 只有零解 $\text{B.}$ $r(A)=n$ $\text{C.}$ $A$ 的列向量组线性相关 $\text{D.}$ $|A|=0$
若 $A$ 为 $n$ 阶可逆方阵，则与 $A$ 必有相同特征值的矩阵是
$\text{A.}$ $A^{-1}$ $\text{B.}$ $A^*$ $\text{C.}$ $A^2$ $\text{D.}$ $A^T$
若矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)$ ，则在实数域上，以下结论正确的是

$\text{A.}$ $A, B$ 相似 $\text{B.}$ $A, C$ 相似 $\text{C.}$ $A, B$ 等价 $\text{D.}$ $A, C$ 合同
填空题
$A 、 B$ 为 3 阶方阵，且 $|A|=3, B$ 不可逆，则 $|A B|=$
向量组 $\alpha_1=(1,1,1,1), \alpha_2=(0,2,5,7), \alpha_3=(1,3,6,8)$ 线性 $\_\_\_\_$ ．（填＂相关＂或＂无关＂）
若 $A$ 为 $n$ 阶非零方阵，且 $A^2=0$ ，则 $(I+A)^{-1}=$
若 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right)$ ，矩阵 $B$ 满足 $B A=2 B+I$ ，则 $B=$
若 3 阶方阵 $A$ 的特征值分别 $1,-2,3$ ，则 $\left|2 A^*\right|=$
解答题
计算 $n$ 阶行列式 $D=\left|\begin{array}{lllll}1 & 3 & 3 & \ldots & 3 \\ 3 & 2 & 3 & \ldots & 3 \\ 3 & 3 & 3 & \ldots & 3 \\ & \ldots & & \ldots & \\ 3 & 3 & 3 & 3 & n\end{array}\right|$ 的值．
求向量组 $\alpha_1=(1,1,2,2)^T, \alpha_2=(0,2,1,5)^T, \alpha_3=(2,0,3,-1)^T, \alpha_4=(1,3,3,7)^T$ 的秩和一个极大线性无关组．
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & -3 & 3 & 1 \\ 3 & -5 & 2 & 2 \\ 9 & -16 & 1 & 7\end{array}\right), X=\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}6 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)$ ，求方程组 $A X=\beta$ 通解．
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ -k & -1 & k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$ 相似于对角阵，求 $k$ 的值．
已知三阶实对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，求可逆矩阵 $P$ 及对角矩阵 $\Lambda$ ，使得 $P^{-1} A P=\Lambda$
用正交变换 $X=Q Y$ 化二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=3 x_1^2+2 x_1 x_2+3 x_2^2$ 为标准形，并写出相应的正交变换矩阵 $Q$ 。
证明题
已知矩阵 $A$ 的列向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ，且 $r(A)=3, B=\left(\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_1+\alpha_3\right)$ ．
证明：齐次线性方程组 $B X=0$ 只有零解．
设矩阵 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，证明 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 也是正定矩阵．

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