解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=y(x)$ 是由方程 $x^2+y=\tan (x-y)$ 所确定，且 $y(0)=0$ ，求：$y(0)$ 和 $(0)$ ．
设函数 $y=y(x)$ 是由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_0^t 2 e^{-s^2} d s \\ y=\int_0^t \cos s^2 d s\end{array}\right.$ 所确定，求：$\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=\sqrt{\pi}}$ ．
求极限： $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\cos 2 x}{x^2}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x-1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{1}{x^2}\right)$ ．
$ \int_1^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^2} d x $
$\int_{-1}^1(2+x)^2\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}} d x$
证明：当 $0 \leq x < +\infty$ 时， $\arctan 3 x \leq \ln (1+4 x)$ ，且仅当 $x=0$ 时等号成立
设常数 $\alpha>0$ ，试判断级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^{1+2 \alpha}}$ 的敛散性．
求幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n 4^n}{(2 n+1)(2 n+2)} x^{2 n+2}$ 的收敛半径、收敛域；并计算其和函数．
设常数 $a>0, f(x)=\frac{1}{3} a x^3-x$ ，试求 $f(x)$ 在 $0, \frac{1}{a}$ 上的最大值和最小值
曲线 $y^2=x+2$ 与纸在线 $y=x$ 所围区域绕直线 $x=2$ 旋转一周的体积．
证明如下＂$\frac{0}{0}$＂型的 $L^{\prime}$ Hospital 法则：
设（1） $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=0$ ；
（2）$f(x) 、 g(x)$ 在去心领域 $\dot{U}\left(x_0\right)$ 内可导，且 $g(x) \neq 0$ ．
（3） $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A$（或 $\infty$ ）．则： $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A$ ．
请举例说明当条件（3）不成立，但 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ 存在，即不能用 L＇Hospital 法则
设 $f(x)=-\cos \pi x+(2 x-3)^3+\frac{1}{2}(x-1)$ ，试讨论并证明方程 $f(x)=0$ 根的个数．