解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求下列函数 $f(x)$ 的不定积分：
（1）$f(x)=|x|$ ．
（2）$f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}$ ．
（3）$f(x)=\frac{1}{ e ^x-1}$ ．
（4）$f(x)=[\sin x+\cos x] e ^x$ ．
试证明下列命题：
（1）（函数方程）设 $f(x)$ 是（ $-\infty, \infty$ ）上的可微函数，且满足
$$
f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y, \quad x, y \in(-\infty, \infty),
$$
则 $f(x)=x^2+f^{\prime}(0) x$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，且 $f(a)=f(b)=0$ ，则对在 $[a, b]$上任一连续函数 $\varphi(x)$ ，有 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)+\varphi(\xi) f(\xi)=0$ 。
(1) $I=\int \frac{x^2+1}{\sqrt{x^6-7 x^4+x^2}} d x$.
(2) $I=\int \frac{ d x}{x \sqrt{x^2-1}}$.
试求下列不定积分：
（1）$I=\int \frac{ d x}{2+\cos ^2 x}$ ．
（2）$I=\int \frac{ d x}{\sin (2 x) \cdot \cos x}$ ．
试求不定积分 $I=\int \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+x}}} d x$（其中根号 $\sqrt{ }$有 $n$ 重）。
$ I=\int e^{\sqrt{x}} d x $
试求下列不定积分：
（1）$I=\int x \cdot \cos x d x$ ．
（2）$I=\int\left(2 x+3 x^2\right) \arctan x d x$ ．
试求下列不定积分：
（1）$I=\int e ^x \sin x d x$ ．
（2）$I=\int x^2 e ^{2 x} \cdot \sin ^2 x d x$ ．
（3）$I=\int x e ^{a x} \cdot \cos b x d x, J=\int x e ^{a x} \sin b x d x(a \neq 0)$ ．
$I_n=\int(\arcsin x)^n d x .$
试求下列不定积分：
（1）$I=\int \frac{ d x}{x\left(x^3+1\right)^2}$ ．
（2）$I=\int \frac{x\left(x^2+3\right) d x}{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)^2}$ ．
$I=\int \frac{1-\sqrt{1+x+x^2}}{x \sqrt{1+x+x^2}} d x .$
$I=\int \frac{d x}{a+b \tan x}$