填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$z=0$ 是 $\frac{1}{\sin z-z}$ 的 $\qquad$阶极点。
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $f(z)=\frac{ e ^z-1}{z}$ 函数的有限奇点，并判断它们的类型
求 $f(z)=\cot \frac{1}{z}$函数的有限奇点，并判断它们的类型
求$f(z)=\frac{z^2}{\sin \frac{1}{z}}$ 函数的有限奇点，并判断它们的类型
求 $f(z)=\frac{1}{\sin z-\sin a}(a$ 为常数） 函数的有限奇点，并判断它们的类型
求 $f(z)=\frac{\left( e ^z-1\right)^3(z-3)^4}{(\sin \pi z)^4}$ 函数的有限奇点，并判断它们的类型
将函数$f(z)=\frac{ e ^z}{z^2}$在 $\infty$ 的去心邻域内展成洛朗级数．
将函数 $f(z)=\frac{z+1}{z^2(z-1)}$ 的去心邻域内展成洛朗级数．
函数 $f(z)=\frac{1}{1-z} e ^z$ 在环域 $0 < |z-1| < +\infty$ 的洛朗展式为
设 $f(z)$ 在 $z$ 平面上解析，且当 $z \rightarrow \infty$ 时，$\frac{f(z)}{z} \rightarrow 1$ ，证明 $f(z)$ 必有一个零点．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（1）若函数 $f(z)$ 在 $0 < |z-a| < R$ 内解析，且不恒为零；
（2）$f(z)$ 有一列异于 $a$ 但却以 $a$ 为聚点的零点．
试证 $a$ 必为 $f(z)$ 的本质奇点．