解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $x d y+(x-2 y) d x=0$ 的一个解 $y=y(x)$ ，使得由曲线 $y=y(x)$ 与直线 $x=1$ ， $x=2$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积最小．
现有函数 $u(x, t)$ ，试利用变量代换 $\left\{\begin{array}{l}\xi=x-2 t, \\ \eta=x+3 t\end{array}\right.$ 将 $u$ 关于变量 $x, t$ 的方程 $6 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t}-\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0$化为 $u$ 关于变量 $\xi, \eta$ 的方程，其中 $u$ 具有二阶连续偏导数．
计算 $I=\oint_{\Sigma} \frac{x d y d z+y d z d x+z d x d y}{\left(x^2+y^2+4 z^2\right)^{\frac{1}{2}}}$ ，其中 $\Sigma:(x-1)^2+y^2+z^2=a^2(a>0$ 且 $a \neq 1)$ ，取外侧．
设 $D$ 是由封闭曲线 $x^2+y^2=a\left(x+\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 所围成的有界闭区域，其中常数 $a>0$ ．求二重积分 $I=\iint_D\left[x^2 \ln \left(y+\sqrt{1+y^2}\right)+x \sqrt{x^2+y^2}\right] d x d y$ ．