设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e ^{a x}, & x \leqslant 0 \\ b(1-x), & x>0\end{array}\right.$ ，求 $a, b$ 使函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导．
求函数 $y=\frac{x+1}{x^2}$ 的单调区间，极值及其图形的凹凸区间．
计算不定积分 $ \int \frac{x^2+\ln x}{x} d x$ ．
计算定积分 $\int_{\frac{1}{2}}^1 e ^{\sqrt{2 x-1}} d x$ ．
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\cos x} d x$ ．
求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$ 的通解．
抛物线 $x=\sqrt{1-y}$ 与直线 $x=0, x=2, y=0$ 所围成图形为 $D$ ．（1）求 $D$ 的面积；（2）求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成的旋转体体积．
证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$ ．
设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x) < 1$ ，证明：
$$
F(x)=2 x-1-\int_0^x f(t) d t
$$
在区间 $(0,1)$ 内只有一个零点．