设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，$f(x)>0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，且有 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+h x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}= e ^{\frac{1}{x}}$ ，求 $f(x)$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)= e$ ．又 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x+1)-f(x)]$ ，确定常数 $\alpha$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=$ e．又 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x+1)-f(x)]$ ，确定常数 $\alpha$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+\alpha-1}{x-\alpha}\right)^x=\int_0^{+\infty}(2-t) e ^{-t} d t$ ，确定 $\alpha$ 的值．
求 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(x+a)^{x+b}(x+b)^{x+a}}{(x+a+b)^{2 x+a+b}}$ ．
$ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(30 x^{100}+2 x^{10}-3 x+2\right)}{\ln \left(x^{10}+2 x+3\right)}\left(\frac{\infty}{\infty}\right)=$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\cos x-\cos 2 x}{x^2}, x < 0 \\ A, x=0 \\ \frac{\sin x-B \int_0^x e ^{-t^2} d t}{x}, x>0\end{array}\right.$ 处处连续，试确定常数 $A, B$ 的值．
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+ e ^{\frac{1}{x}}}{1+ e ^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$ ．