复旦大学《高等数学C下》2012期末考试试卷

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复旦大学《高等数学C下》2012期末考试试卷

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 下列级数中绝对收敛的是 ( )。

A.

\sum_{1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{\ln (1 + n)}

B.

\sum_{1}^{\infty} \frac{n^{3} - 1}{n^{2} + 2}

C.

\sum_{1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{2 n^{2} + 1}{n^{3} - 2 n + 1}

D.

\sum_{1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} n}{\sqrt{3^{n}}} \sin n

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X \sim N (0, 4)

, 则

P (X < 1) = ()

。

A.

\int_{0}^{1} \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{8}} d x

B.

\int_{0}^{1} \frac{1}{4} e^{- \frac{x^{2}}{4}} d x

C.

\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2}}

D.

\int_{- \infty}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x

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3. 幂级数

\sum_{1}^{\infty} \frac{(x - 2)^{n}}{n}

的收敛区间是（）。

A.

[1, 3]

B.

[1, 3)

C.

(- 1, 1)

D.

[- 1, 1)

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{2 x^{2} - y^{2}}{2 x^{2} + y^{2}}

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y^{''} + \sqrt{1 - y^{' 2}} = 0

, 则通解

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6. 方程

e^{y} - y^{'} = \frac{1}{x}

的通解为

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\sin x^{2} y}{(\cos x - 1) \arcsin y}

。

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\iint_{D} (a - 2 x - 3 y) d x d y

, 其中

D

为由

x^{2} + y^{2} = R^{2}

所围区域。

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y^{3} d x + 2 (x^{2} - x y^{2}) d y = 0

, 求通解。

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10. 设

z = f (x, \frac{x}{y})

具有二阶连续偏导数, 求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

。

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11. 投掷均匀的股子

n

次, 所得

n

个点数的最小值、最大值分别记为

ξ 、 η

, 求

ξ

、

η

分布列。

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12. 求

f (x) = \frac{1}{x^{2} + 3 x + 2}

在点

x = - 4

处的 Taylor 级数。

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13. 1. 设随机变量

X

的概率密度函数为

P_{X} (x) = {\begin{cases} \frac{3}{2} x^{2}, & - 1 < x < 1, \\ 0, & 其他 \end{cases}, Y = 3 - X

, 求:
（1）

Y

的概率密度函数；（2）

E Y 、 D Y

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14. 验证函数

y = x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots + \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} + \dots (- \infty < x < + \infty)

满足方程

y^{''} + y^{'} = e^{x}

,并用此结果求

\sum_{0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

的和函数。

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15. 求方程

x + y y^{'} = f (x) g (\sqrt{x^{2} + y^{2}})

的通解, 并由此结果求

x + y y^{'} = \tan x \cdot (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - 1)

的通解。

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四、证明题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 设

f (x)

在

[a, b]

上为恒大于零的连续函数, 用二重积分证明

\int_{a}^{b} f (x) d x \cdot \int_{a}^{b} \frac{d x}{f (x)} \geq (b - a)^{2} 。

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17. 设

\sum_{1}^{\infty} (a_{n} - a_{n - 1})

收敛, 正项级数

\sum_{1}^{\infty} b_{n}

收敛, 证明:

\sum_{1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n} b_{n}

绝对收敛。

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