数学试题讲解

验证函数

y = x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots + \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} + \dots (- \infty < x < + \infty)

满足方程

y^{''} + y^{'} = e^{x}

,并用此结果求

\sum_{0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

的和函数。