明 $\left|z_1+z_2\right|^2+\left|z_1-z_2\right|^2=2\left(\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2\right)$, 并说明其几何意义.
证明: $z$ 平面上的直线方程可以写成 $a \bar{z}+\bar{a} z=c$ ( $a$ 是非零复常数, $c$ 是实常数 $)$.
证明: $z$ 平面上的圆周可以写成
$$
A z \bar{z}+\beta \bar{z}+\bar{\beta} z+C=0
$$
其中 $A 、 C$ 为实数, $A \neq 0, \beta$ 为复数, 且 $|\beta|^2>A C$.
试证:复平面上三点 $a+b i , 0, \frac{1}{-a+b i }$ 共直线.
命函数 $f(z)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{x^2+y^2}, \text { 若 } z \neq 0, \\ 0, \\ \text { 若 } z=0,\end{array}\right.$ 试证: $f(z)$ 在原点不连续.
试证: 函数 $f(z)=\bar{z}$ 在 $z$ 平面上处处连续.
试问函数 $f(z)=\frac{1}{1-z}$ 在单位圆 $|z| < 1$ 内是否连续?是否一致连续?