湖南大学2023年1月高等数学A1期末考试试卷及解析（个人版）

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一、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 若

f (x)

是

x

的二次函数, 且

f (0) = 1, f (x + 1) - f (x) = 2 x

, 求

f (x)

的表达式.

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2. 设

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \frac{f (x)}{\sin 2 x})}{e^{x} - 1} = 3

, 求

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x^{2}}

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3. 求

lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{x^{3}}

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4. 设函数

f (x) = {\begin{cases} e^{\frac{1}{x}} + 1, x < 0, \\ a, x = 0, \\ \frac{\sin (b x)}{x}, x > 0 \end{cases}

, 试确定

a, b

之值, 使

f (x)

在

x = 0

处连续.

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5. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{\sin^{2} x}{x}, x \neq 0, \\ 0, x = 0 \end{cases}

, 求

f^{'} (x)

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二、解答题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 求

\int \frac{1}{x^{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}}} d x

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7. 求方程

x y^{'} - y = x \tan \frac{y}{x}

的通解.

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