多选题 （共 2 题 ），每题有多个选项正确
设二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+y=0$ 的每一个解 $y(x)$ 都在区间 $(0,+\infty)$ 上有界, 则实数 $b$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $[0,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-\infty, 0)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 4)$
$\text{D.}$ $(-\infty,+\infty)$
已知 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(1)=1, f^{\prime}(1)=-1$, 则函数 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 内( )
$\text{A.}$ 有极值点, 无零点
$\text{B.}$ 无极值点, 有零点
$\text{C.}$ 有极值点, 有零点
$\text{D.}$ 无极值点, 无零点
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x+1,0 \leq x \leq \pi \\ 0, \\ -\pi \leq x < 0\end{array}, S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 的以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\int_0^{\sqrt{t}} d u \int_{u^2}^t \sin y^2 d y}{\left[\left(\frac{2}{\pi} \arctan \frac{x}{t^2}\right)^x-1\right] \arctan t^{\frac{3}{2}}}$.
(I) 求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n}$ 的收敛域;
(II) 令 $s(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n}$, 建立 $s(x)$ 满足的一阶微分方程并求出 $s(x)$;
(III) 求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!}$ 的和.
已知方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+3 x_2+2 x_3+x_4=0 \\ x_2+a x_3-a x_4=0 \\ x_1+2 x_2+3 x_4=0\end{array}\right.$ (1)与方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+b x_2-2 x_3+5 x_4=0 \\ 3 x_1+7 x_2+c x_3+7 x_4=0\end{array}\right.$
(2)同解
(I) 求 $a, b, c$ 的值;
(II) 求方程组 (1) 的系数矩阵 $A$ 的列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的极大线性无关组, 并且将其余列向量用极大线性无关组线性表示;
(III) 求方程组满足 $x_1=x_2$ 的解.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布, 且服从参数为 $\theta$ 的指数分布, 令 $U=\min _{1 \leq i \leq n}\left\{X_i\right\}$.
(I) 求 $U$ 的概率密度;
(II) 设 $U_1, U_2, \cdots, U_m$ 为来自总体 $U$ 的简单随机样本, 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$.