相似三角形及其应用

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相似三角形及其应用

发布日期 2026/10/8 21:52:33 查看 4 加入组卷查看作者

单选题

如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（）

$\text{A.}$ 天翼的做法证明过程没有问题 $\text{B.}$ 往琛的做法证明过程没有问题 $\text{C.}$ 天翼的做法添加的条件没有问题 $\text{D.}$ 往琛的做法添加的条件有问题

填空题

将一把直尺与△ABC按如图所示的方式摆放，AB与直尺的一边重合，AC，BC分别与直尺的另一边交于点D，E．若点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为1"cm" ，则点C到边AB的距离为 "cm" ．

解答题

如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，$E$ 是 $C D$ 的中点，$P$ 是 $B C$ 边上的一点．
（1）给出一个条件，使得 $\triangle A B P$ 与 $\triangle E C P$ 相似并写出证明；
（2）在（1）的条件下，已知 $A B=2$ ，求 $\sin \angle B A P$ 的值．

如图，$\triangle A B C$ 为边长等于4的等边三角形，点 $F$ 是 $B C$ 边上的一个动点（不与点 $B 、 C$ 重合），$F D \perp A B, F E \perp A C$ ，垂足分别是 $D 、 E$ 。
（1）求证：$\triangle B D F \backsim \triangle C E F$ ；
（2）若 $C F=a$ ，四边形 $A D F E$ 面积为 $S$ ，求出 $S$ 与 $a$ 之间的函数关系式，并写出 $a$ 的取值范围．

如图，在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle E B D$ 中，$\angle A B C=\angle E B D=90^{\circ}, A B=6, B C=3, E B=2 \sqrt{5}, B D=\sqrt{5}$ ，射线 $A E$ 与直线 $C D$ 交于点 $P$ ．
（1）求证：$\triangle A B E \backsim \triangle C B D$ ；
（2）若 $A B \| E D$ ，求 $\tan \angle P A C$ 的值；
（3）若 $\triangle E B D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转一周，直接写出线段 $A P$ 的最大值与最小值。

如图，在 $\odot O$ 中，$A B$ 为直径，$E F$ 为弦，连接 $A F, B E$ 交于点 $P$ ，且 $F$ 为 $B E$ 的中点．
（1）求证：$\triangle F B P \backsim \triangle F A B$ ；
（2）若 $\tan \angle B E F=\frac{3}{4}$ ，求 $\sin \angle A B E$ 的值．

阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书。下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，$A B$ 是 $\odot O$的切线，直线 $A D$ 为 $\odot O$ 的割线，则 $A B^2=A C \cdot A D$ ．下面是切割线定理的证明过程（不完整）：

证明：如图 1 所示，连接 $B D$ ，连接 $B O$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$ ，连接 $C E 、 B C$ ．

任务：
（1）请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；
（2）如图2，已知 $A B$ 是 $\odot O$ 的直径，$A C$ 是 $\odot O$ 的切线，$A$ 为切点，割线 $C F$ 与 $A B$ 于点 $E$ ，且满足 $C D: D E: E F=1: 2: 1$ ， $A C=8$ ，求 $A B$ 的长．

证明题

如图，$\triangle A D E$ 与 $\triangle A B C$ 有公共顶点 $A, \angle B A D=\angle C A E$ ．请添加一个条件： $\_\_\_\_$，使得 $\triangle A D E \backsim \triangle A B C$ ，然后再加以证明．

如图，在 $\triangle A B C$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 边上，已知 $A C \| B D$ ，添加一个条件，使 $\triangle B D E \sim \triangle A B C$ ．你添加的条件是

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