哈工大《泰勒级数与洛朗级数展开》

发布日期 2026/10/7 18:33:12 查看 1 加入组卷查看作者

单选题

若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-1)^n$ 在 $z=3$ 发散，则它必在．

$\text{A.}$ $z=-1$ 收敛； $\text{B.}$ $z=-\frac{3}{2}$ 发散； $\text{C.}$ $z=2$ 收敛； $\text{D.}$ 以上全不正确．

下列级数中，绝对收敛的级数是．

$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(1+\frac{\mathrm{i}}{n}\right)$ ； $\text{B.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\mathrm{i}^n}{\ln n}$ ； $\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^n}{n}+\frac{\mathrm{i}}{2^n}\right]$ ； $\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(8 \mathrm{i})^n}{n!}$ ．

洛朗级数 $\sum_{n=-\infty}^{\infty} 2^{-|n|}(z-3)^n$ 的收敛域为．

$\text{A.}$ $|z-3| < 2$ ； $\text{B.}$ $2 < |z-3| < +\infty$ ； $\text{C.}$ $\frac{1}{2} < |z-3| < 2$ ； $\text{D.}$ $\frac{1}{2} < |z-3| < +\infty$ ．

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(1+\sqrt{3} i)^n z^{2 n}$ 的收敛半径是．

$\text{A.}$ 2； $\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ ； $\text{C.}$ $\sqrt{2}$ ； $\text{D.}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ．

设 $f(z)$ 在圆环域 $D: R_1 < \left|z-z_0\right| < R_2$ 内解析，它在 $D$ 内的洛朗展开式为 $f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n, C$ 为 $D$ 内围绕 $z_0$ 的任一条正向简单光滑闭曲线，则$\oint_C \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^3} \mathrm{~d} z=$ ．

$\text{A.}$ $2 \pi \mathrm{i} a_{-1}$ ； $\text{B.}$ $2 \pi \mathrm{i} a_1$ ； $\text{C.}$ $2 \pi \mathrm{i} a_2$ ； $\text{D.}$ $2 \pi \mathrm{i} \frac{f^{\prime \prime}\left(z_0\right)}{2!}$ ．

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n^n} z^n$ 的收敛半径 $R=$ ．

$\text{A.}$ 2 ； $\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ ； $\text{C.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$ ； $\text{D.}$ e．

洛朗级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{(z-3)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(1-\frac{z}{3}\right)^n$ 的收敛圆环域是。

$\text{A.}$ $\frac{1}{3} < |z-3| < \frac{1}{2}$ ； $\text{B.}$ $0 < |z-3| < 2$ ； $\text{C.}$ $2 < |z-3| < 3$ ； $\text{D.}$ $0 < |z-3| < 3$ ．

洛朗级数 $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} z^n$ 的收敛域是．

$\text{A.}$ $0 < |z| < 1$ ； $\text{B.}$ $\varnothing$（空集）； $\text{C.}$ $\frac{1}{2} < |z| < 1$ ； $\text{D.}$ $\frac{1}{3} < |z| < \frac{1}{2}$ ．

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ 的收敛半径 $R>0$ ，则它．

$\text{A.}$ 在 $|z| \leqslant R$ 上收敛； $\text{B.}$ 在 $|z| \leqslant \frac{R}{2}$ 上一致收敛； $\text{C.}$ 在 $|z| < R$ 内一致收敛； $\text{D.}$ 在 $|z| \leqslant R$ 上绝对收敛．

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-1)^n$ 在点 $z=3$ 收敛而在 $z=1+2 \mathrm{i}$ 发散，则它的收敛半径 $R=$ ．

$\text{A.}$ 2； $\text{B.}$ $+\infty$ ； $\text{C.}$ 3； $\text{D.}$ 0.

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n}$ ．

$\text{A.}$ 收敛； $\text{B.}$ 发散； $\text{C.}$ 绝对收敛； $\text{D.}$ 条件收敛。

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n=\mathrm{e}^{\frac{\cos z}{1-z}}$ ，则它的收敛半径为。

$\text{A.}$ 2； $\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ ； $\text{C.}$ 1； $\text{D.}$ $+\infty$ ．

填空题

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(1+\mathrm{i})^n z^n$ 在 $\_\_\_\_$ 绝对收敛，在 $\_\_\_\_$ 发散

幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{\pi}{n}} z^n$ 在 $\_\_\_\_$绝对收敛，在 $\_\_\_\_$ 发散

设 $\frac{\mathrm{e}^{\frac{z}{z-3}} \cos z}{(z-1)(z-\mathrm{i}) \ln (2-z)}=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ ，则收敛半径 $R=$ ，故幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ 在（）绝对收敛，在（）一致收敛

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-2)^n$ 在 $z=4$ 收敛而在 $z=2+2 \mathrm{i}$ 发散，则其收敛半径$R=()$ ，该幂级数在( )绝对收敛，在 ()一致收敛

洛朗级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(z-2)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(1-\frac{z}{2}\right)^n$ 的收敛圆环为 $\_\_\_\_$，和函数为 $\_\_\_\_$．

解答题

判别下列级数的剑散性：
（i）$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(6+5 \mathrm{i})^n}{8^n}$ ；
（ii）$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathrm{ch} n}{2^n}$ ．

求下列幂级数的收敛半径：
（i）$\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{ch}\left(\frac{\mathrm{i}}{n}\right)(z-1)^n$ ；
（ii）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{z}{\ln \mathrm{i} n}\right)^n$ ．

问函数 $\tan \left(\frac{1}{z}\right)$ 能否在 $0 < |z| < R$ 内展为洛朗级数？说明理由．

将 $f(z)=\frac{z}{\sin z}$ 在圆环 $D: 0 < |z| < \pi$ 内展开成洛朗级数．

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