哈工大《复变函数的积分》

发布日期 2026/10/6 15:32:56 查看 0 加入组卷查看作者

单选题

设 $f(z)$ 在单连域 $B$ 内解析，$C$ 为 $B$ 内任一闭路，则必有．

$\text{A.}$ $\oint_C \operatorname{Im}[f(z)] \mathrm{d} z=0$ ； $\text{B.}$ $\oint_C \operatorname{Re}[f(z)] \mathrm{d} z=0$ ； $\text{C.}$ $\oint_C|f(z)| \mathrm{d} z=0$ ； $\text{D.}$ $\operatorname{Re}\left[\oint_C f(z) \mathrm{d} z\right]=0$ ．

函数 $f(z)$ 在单连域 $B$ 内解析是 $f(z)$ 沿 $B$ 内任一闭路 $C$ 的积分 $\oint_C f(z) \mathrm{d} z$ $=0$ 的

$\text{A.}$ 充分条件； $\text{B.}$ 必要条件； $\text{C.}$ 充要条件； $\text{D.}$ 既非充分也非必要条件．

函数 $f(z)$ 在单连域 $B$ 内解析是 $f(z)$ 存在原函数的．

$\text{A.}$ 必要条件； $\text{B.}$ 充分条件； $\text{C.}$ 充要条件； $\text{D.}$ 既非充分也非必要条件．

设 $f(z)$ 在闭路 $C$ 上及其内部解析，$z_0$ 在 $C$ 的内部，则有．

$\text{A.}$ $\oint_C \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^2} \mathrm{~d} z=f^{\prime}\left(z_0\right) \oint_C \frac{1}{\left(z-z_0\right)^2} \mathrm{~d} z$ ； $\text{B.}$ $\oint_C \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^2} \mathrm{~d} z=\oint_C \frac{f^{\prime}(z)}{z-z_0} \mathrm{~d} z$ ； $\text{C.}$ $\oint_C \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^2} \mathrm{~d} z=\frac{f\left(z_0\right)}{2!} \oint_C \frac{1}{z-z_0} \mathrm{~d} z$ ； $\text{D.}$ $\oint_C \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^2} \mathrm{~d} z=\oint_C \frac{f\left(z_0\right)}{z-z_0} \mathrm{~d} z$ ．

设 $C:|z-1|=1$ ，则 $\oint_C \frac{\mathrm{~d} z}{(z-1)^3(z+1)^3}=$ ．

$\text{A.}$ $\frac{3 \pi}{8} \mathrm{i}$ ； $\text{B.}$ $-\frac{3 \pi}{8} \mathrm{i}$ ； $\text{C.}$ $\frac{3 \pi}{4} \mathrm{i}$ ； $\text{D.}$ $-\frac{3 \pi}{4} \mathrm{i}$ ．

设 $C:|z-2|=1$ ，则 $\oint_C \frac{\mathrm{e}^z}{z-2} \mathrm{~d} z=$ ．

$\text{A.}$ $\pi \mathrm{e}^2 \mathrm{i}$ ； $\text{B.}$ $2 \pi \mathrm{ei}$ ； $\text{C.}$ $2 \pi \mathrm{e}^2$ ； $\text{D.}$ $2 \pi \mathrm{e}^2 \mathrm{i}$ ．

设 $C:|z-a|=a$ ，则 $\oint_C \frac{\mathrm{~d} z}{z^2-a^2}=$ ．

$\text{A.}$ $\pi a \mathrm{i}$ ； $\text{B.}$ $-\pi a i$ ； $\text{C.}$ $\frac{\pi}{a} \mathrm{i}$ ； $\text{D.}$ $-\frac{\pi}{a} \mathrm{i}$ ．

设 $C:|z|=1$ ，则 $\oint_C \frac{\sin z}{\left(z-\frac{\pi}{2}\right)^3} \mathrm{~d} z=$ ．

$\text{A.}$ $-\pi \mathrm{i}$ ； $\text{B.}$ $\pi i ;$ $\text{C.}$ 0； $\text{D.}$ $-2 \pi \mathrm{i}$ ．

设 $C:|z|=1$ ，则 $\oint_C \frac{\mathrm{e}^z}{z^5} \mathrm{~d} z=$ ．

$\text{A.}$ $\frac{\pi \mathrm{i}}{12}$ ； $\text{B.}$ $-\frac{\pi \mathrm{i}}{12}$ ； $\text{C.}$ $\frac{\pi \mathrm{i}}{6}$ ； $\text{D.}$ $-\frac{\pi \mathrm{i}}{6}$ ．

设 $C:|z-1|=\frac{1}{2}$ ，则 $\oint_C \frac{\cos z}{z} \mathrm{~d} z=$ ．

$\text{A.}$ $2 \pi \mathrm{i}$ ； $\text{B.}$ 0； $\text{C.}$ $\pi i ;$ $\text{D.}$ 1.

设 $f(z)$ 在 $0 < |z| < 1$ 内解析，且沿任一圆周 $C:|z|=r(0 < r < 1)$ 的积分均为零，则 $f(z)$ 在 $z=0$ 处

$\text{A.}$ 可导； $\text{B.}$ 解析； $\text{C.}$ 未必解析； $\text{D.}$ 连续．

设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内连续，且对 $D$ 内任一条其内部含于 $D$ 的闭路 $C$ 均有 $\oint_C f(z) \mathrm{d} z=0$ ，则 $f(z)$ 在。

$\text{A.}$ $D$ 内解析； $\text{B.}$ $\bar{D}$ 上连续； $\text{C.}$ $\bar{D}$ 上解析； $\text{D.}$ $D$ 内未必解析．

填空题

沿 $y=x$ 的积分 $\int_0^{1+\mathrm{i}}\left(8 z^2+4 z+1\right) \mathrm{d} z=$ 沿 $y=x^2$ 的积分$\int_0^{1+\mathrm{i}}\left(8 z^2+4 z+1\right) \mathrm{d} z=$

设 $C:|z|=1$ ，则当 $|a| < 1$ 时 $\oint_C \frac{\mathrm{e}^z}{(z-a)^2} \mathrm{~d} z=$ ；当 $|a|>1$ 时$\oint_C \frac{\mathrm{e}^z}{(z-a)^2} \mathrm{~d} z=$．

$\oint_{|z|=1} \frac{\bar{z}}{|z|} \mathrm{d} z=$
$ \oint_{|z|=3} \frac{\bar{z}}{|z|} \mathrm{d} z=$

设 $f(z)$ 在 $|z| < 1$ 内解析，则 $\oint_{|z|=r < 1} \frac{f(z)}{z^2} \mathrm{~d} z=$
$ \oint_{|z|=r < 1} \frac{f(z)}{z-2 r} \mathrm{~d} z$ ＝

积分 $\oint_{|z|=3} \frac{\mathrm{e}^z}{z(z-1)^3} \mathrm{~d} z=$

积分 $\oint_{|z|=1} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{z-2}} \mathrm{~d} z}{\left(z^2+2\right)(z-3)}=$

设 $f(z)$ 在单连域 $B$ 内解析且不为零，$C$ 为 $B$ 内任一闭路，则

$$
\oint_C \frac{f^{\prime \prime}(z)+2 f^{\prime}(z)+4}{f(z)} \mathrm{d} z=
$$

设 $f(z)=\oint_{|\zeta|=2} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{3} \zeta\right)}{\zeta-z} \mathrm{~d} \zeta$ ，其中 $|z| \neq 2$ ，则 $f^{\prime}(1)=$

解答题

计算 $\oint_{|z|=2} \frac{z^3+1}{(z+1)^4} \mathrm{~d} z$

设 $C:|z|=3, f(z)=\oint_C \frac{3 \zeta^2+7 \zeta+1}{\zeta-z} \mathrm{~d} \zeta$ ，求 $f^{\prime}(1+\mathrm{i})$

求积分 $I=\oint_C \frac{\mathrm{~d} z}{z^3(z+1)(z-2)}$ 的值，其中 $C:|z|=r, r \neq 1,2$

设 $C_1$ 与 $C_2$ 为不经过 $z_0$ 的两条互不包含也互不相交的闭路，求$\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}}\left[\oint_{C_1} \frac{z^2 \mathrm{~d} z}{z-z_0}+\oint_{C_2} \frac{\sin z \mathrm{~d} z}{z-z_0}\right]$ 的值

计算积分 $\oint_{|z|=r} \frac{|\mathrm{~d} z|}{|z-a|^2}$ ，其中 $a \neq 0,|a| \neq r, r>0$

计算积分 $\oint_C \frac{\mathrm{e}^z}{z(1-z)^3} \mathrm{~d} z$ ，其中 $C$ 为不经过点 0 与 1 的闭路．

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