如图，等腰三角形 $A B C$ 中，$A B=A C$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象经过点 $A 、 B$ 及 $A C$ 的中点 $M, B C \| x$ 轴，$A B$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ．则 $\frac{A N}{A B}$ 的值为

如图，$\triangle O A_1 A_2$ 为等腰直角三角形，$O A_1=1$ ，以斜边 $O A_2$ 为直角边作等腰Rt $\triangle$ $O A_2 A_3$ ，再以 $O A_3$ 为直角边作等腰Rt $\triangle O A_3 A_4, \ldots$ ，按此规律作下去便得到了一个海螺图案，则 $O A_n$ 的长度为 （用含 $n$ 的式子表示）

如图 1，$\triangle A C B$ 和 $\triangle D C E$ 均为等边三角形，点 $A, D, E$ 在同一直线上，连接 $B E$ ．
（1）填空：$\angle A E B$ 的度数为 _；（2）线段 $A D, B E$ 之间的数量关系为 ；
（2）如图2，$\triangle A C B$ 和 $\triangle D C E$ 均为等腰直角三角形，$\angle A C B=\angle D C E=90^{\circ}$ ，点 $A, D, E$ 在同一直线上，$C M$ 为$\triangle D C E$ 中 $D E$ 边上的高，连接 $B E$ ，请判断 $\angle A E B$ 的度数及线段 $C M, A E, B E$ 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在 $\triangle A C B$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C=6$ ，平面上一动点 $P$ 到点 $B$ 的距离为 4，将线段 $C P$ 绕点 $C$顺时针旋转 $90^{\circ}$ ，得到线段 $C D$ ，连 $D A, D B, P B$ ，则 $B D$ 是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不需要说明理由．

点 $M$ 在四边形 $A B C D$ 内，点 $M$ 和四边形的一组对边组成两个三角形，如果这两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么定义该四边形 $A B C D$ 为蝴蝶四边形。例如，如图1，在四边形 $A B C D$ 中，$\angle A M B=$ $\angle C M D=90^{\circ}, \quad M A=M B, \quad M C=M D$ ，则四边形 $A B C D$ 为蝴蝶四边形．

【概念理解】如图2，正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点 $M$ ．判断正方形 $A B C D$ 是否为蝴蝶四边形，说明理由。

【性质探究】如图 3，在蝴蝶四边形 $A B C D$ 中，$\angle A M B=\angle C M D=90^{\circ}$ 。求证：$A C=B D$ 。
【拓展应用】在蝴蝶四边形 $A B C D$ 中，$\angle A M B=\angle C M D=90^{\circ}, M A=M B=\sqrt{2}, M C=M D=1$ ，当 $\triangle A C D$ 是等腰三角形时，求此时 $B D^2$ 的值．