全等三角形（2）

发布日期 2026/10/4 20:52:46 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

要得知某一池塘两端 $A, B$ 的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案。

方案I：如图1，先过点 $B$ 作 $B F \perp A B$ ，再在 $B F$ 上取 $C, D$ 两点，使 $B C=C D$ ，接着过点 $D$ 作 $B D$ 的垂线 $D E$ ，交 $A C$ 的延长线于点 $E$ ，则测量 $D E$ 的长即可；

方案II：如图2，过点 $B$ 作 $B D \perp A B$ ，再由点 $D$ 观测，用测角仪在 $A B$ 的延长线上取一点 $C$ ，使 $\angle B D C=\angle B D A$ ，则测量 $B C$ 的长即可．

对于方案I、II，说法正确的是

$\text{A.}$ 只有方案I可行 $\text{B.}$ 只有方案II可行 $\text{C.}$ 方案I和II都可行 $\text{D.}$ 方案I和II都不可行

如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2, E$ 为与点 $D$ 不重合的动点，以 $D E$ 为边向下作正方形 $D E F G$ 。则 $D E+C G+C F$的最小值为

$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ $\sqrt{2}$ $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$

填空题

如图，为了测量凹档的宽度，把一块等腰直角三角板 $\left(A B=C B, \angle A B C=90^{\circ}\right)$ 放置在凹槽内，三个顶点$A, B, C$ 分别落在凹槽内壁上，若 $\angle A M N=\angle C N M=90^{\circ}$ ，测得 $A M=18 \mathrm{~cm}, C N=30 \mathrm{~cm}$ ，则该凹槽的宽度 $M N$ 的长为

图1是一款平衡荡板器材，其示意图如图2，$A 、 D$ 为支架顶点，支撑点 $B, C, E, F$ 在水平地面同一直线上，$G 、 H$ 为荡板上固定的点，$G H \| B F$ ，测量得 $A G=G H=D H, Q$ 为 $D F$ 上一点且离地面 1 m ，旋转过程中，$A G$ 始终与 $D H$ 保持平行。如图3，当旋转至 $A, Q, H$ 在同一直线上时，连接 $G^{\prime} Q$ ，测得 $G^{\prime} Q=1.6 \mathrm{~m}, \angle D Q G^{\prime}=90^{\circ}$ ，此时荡板 $G^{\prime} H$ 距离地面 0.6 m 。
（1）$D Q$ 的长为 m．（2）点 $D$ 离地面的距离为 m．

如图．正方形 $A B C D$ 的边长为 $1, E 、 F$ 分别是 $B D 、 C D$ 上的动点．且 $B E=C F$ ．则 $A E+A F$ 的最小值为

解答题

在四边形 $A B D E$ 中，$C$ 是 $B D$ 边的中点。

（1）如图1，若 $A C$ 平分 $\angle B A E, \angle A C E=90^{\circ}$ ，则线段 $A E, A B, D E$ 满足数量关系是＿；
（2）如图2，$A C$ 平分 $\angle B A E, E C$ 平分 $\angle A E D$ ，若 $\angle A C E=120^{\circ}$ ，则线段 $A B, B D, D E, A E$ 之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图3，$B C=8, A B=3, D E=7$ ，若 $\angle A C E=120^{\circ}$ ，则线段 $A E$ 长度的最大值是

【问题呈现】
如图 1，$\triangle A B C$ 和 $\triangle A D E$ 都是等边三角形，连接 $B D, C E$ 。求证：$B D=C E$ ；
【类比探究】
如图 2，$\triangle A B C$ 和 $\triangle A D E$ 都是等腰直角三角形，$A D=a, A B=b, \angle A B C=\angle A D E=90^{\circ}$ ．连接 $B D, C E$ ．请写出 $\frac{B D}{C E}=$ ；并写出详细解答过程。

问题背景如图（1），在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A D E$ 中，$A B=A C, A D=A E, \angle B A C=\angle D A E$ 。求证：$B D=C E$ 。类比探究如图（2），$D, P$ 是等边 $\triangle A B C$ 外两点，连接 $B D$ 并取 $B D$ 的中点 $M$ ，且 $\angle A P D=120^{\circ}, \angle M P C=60^{\circ}$ ，试猜想 $P A$ 与 $P D$ 的数量关系，并证明你的猜想。
拓展应用如图（3），在四边形 $A B C D$ 中，$\angle A B C=60^{\circ}, \angle A D C=90^{\circ}, A D=C D, A B=2 \sqrt{3}, B D=\sqrt{42}$ ，直接写出 $B C$ 的长．

已知 $A 、 B 、 C 、 D$ 顺次在圆 $O$ 上，$A B=B D, B M \perp A C$ 于点 $M$ ，求证：$A M=D C+C M$ ．

如图，在等腰直角 $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 在 $A B$ 边上，以 $D E$ 为腰作等腰直角 $\triangle D E F$ ，连接 $C F$ 。
（1）若 $D E \perp A B$ ，求证：$C F=B E$ ；
（2）如图1，当点 $E$ 在 $A B$ 边上移动，且点 $F$ 在 $\triangle A B C$ 内部时，探究 $\angle D C F$ 的大小是否变化？若不变，求 $\angle D C F$ 的度数；若变化，请说明理由；
（3）如图 2，当点 $F$ 在 $\triangle A B C$ 外部时，$E F$ 与 $A C$ 交于点 $G$ ，若 $B C=8, A E=\frac{1}{3} B E$ ，求 $E G$ 的长．

如图，正方形 $A B C D$ 的边长是 1 ，点 $E$ 是边 $C D$ 上一动点（不与 $D 、 C$ 两点重合），将 $\triangle A D E$ 沿 $A E$ 折叠得 $\triangle A G E$ ，延长 $E G$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ 。
（1）求证：$A F$ 平分 $\angle B A G$ ；
（2）点 $E$ 在运动过程中，$\triangle C E F$ 的周长是否发生变化？如果发生变化，请说明变化情况；如果不发生变化，请求出 $\triangle C E F$ 的周长．
（3）当点 $E$ 运动到什么位置时，$A E=A F$ ？

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