全等三角形

发布日期 2026/10/4 20:06:31 查看 1 加入组卷查看作者

单选题

如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C=4, \angle B A C=120^{\circ}$ ，点 $D, E$ 分别是边 $A B, B C$ 上的动点，且 $A D=B E$ ，连接$A E, C D$ ，当 $A E+C D$ 的值最小时，$\angle A E B$ 的度数为

$\text{A.}$ 90° $\text{B.}$ 120° $\text{C.}$ 135° $\text{D.}$ 150°

如图，锐角三角形 $A B C$ 中，$\angle A B C=\angle A C B$ ，点 $D, E$ 分别在边 $A B, A C$ 上，连接 $B E, C D$ ．下列命题中，假命题是

$\text{A.}$ 若 $\angle A C D=\angle A B E$ ，则 $C D=B E$ $\text{B.}$ 若 $B D=C E$ ，则 $B E=C D$ $\text{C.}$ 若 $C D=B E$ ，则 $\angle A C D=\angle A B E$ $\text{D.}$ 若 $A D=A E$ ，则 $\angle C B E=\angle D C B$

如图，在等边三角形 $A B C$ 中，有一点 $P$ ，连接 $P A 、 P B 、 P C$ ，将 $B P$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $B D$ ，连接 $P D$ 、$A D$ ，有如下结论：（1）$\triangle B P C \cong \triangle B D A$ ；（2）$\triangle B D P$ 是等边三角形；（3）如果 $\angle B P C=150^{\circ}$ ，那么 $P A^2=P B^2+$ $P C^2$ 。以上结论正确的是

$\text{A.}$ ①② $\text{B.}$ ①③ $\text{C.}$ ②③ $\text{D.}$ ①②③

填空题

如图，$\triangle C A E \cong \triangle E B D, C A \perp A B$ ，且 $\angle A C E=55^{\circ}$ ，则 $\angle B D E$ 的度数为

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D E F$ 中，$\angle C=\angle F=90^{\circ}, A C=D F=3, B C=4, E F=2$ ，点 $M, N$ 分别在边 $A B$ 和边 $D E$ 上，使得 $\triangle A C M \cong \triangle F D N$ ，则 $A M=$

解答题

如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，$D E \perp E F, F G \perp A B$ ．
（1）证明：$\triangle D A E \backsim \triangle E G F$
（2）不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 $\triangle D A E \cong \triangle E G F$

如图，在4×4的正方形网格中，$A, B, C, D, E$ 是网格线交点．请画出一个 $\triangle D E F$ ，使得 $\triangle D E F$ 与 $\triangle A B C$全等。

如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C, A D \perp B C$ 于点 $D, \angle B A C$ 为锐角．
（1）将线段 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转（旋转角小于 $90^{\circ}$ ），在图中求作点 $D$ 的对应点 $E$ ，使得 $B E=\frac{1}{2} B C$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点 $C$ 作 $C F \perp A B$ 于点 $F$ ，连接 $E F, B E$ ，若 $\sin \angle E B A=\frac{5}{7}$ ，求 $\frac{E F}{C F}$ 的值．

如图，$P$ 是 $\triangle A B C$ 内一点 $P B=P C, \angle A B P=\angle A C P$ ．求证：$\angle A P B=\angle A P C$ ．
小虎的证明过程如下：

（1）小虎同学的证明过程中，第＿步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程。

如图，已知点 $D$ 在射线 $A E$ 上 $B D=C D, A E$ 平分 $\angle B A C$ 与 $\angle B D C$ ，求证 $A B=A C$ ．小明的证明过程如下：

小明的证明是否正确？若正确，请在框内打＂✓＂，若错误，请写出你的证明过程。

已知：如图，矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $B C$ 上一点，且 $A E=A D$ ．

（1）用尺规完成以下基本作图：过点 $D$ 作 $A E$ 的垂线交 $A E$ 于点 $F$（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）求证：$D C=D F$ ，请将下面证明过程补充完整：

综合与实践

（1）问题发现：如图 1，$\triangle A C B$ 和 $\triangle D C E$ 均为等腰三角形，$A C=B C, D C=E C, \angle A C B=\angle D C E$ ，点 $A 、 D 、 E$ 在同一条直线上，连接 $B E$ 。
①求证：$A D=B E$ ；将下列解答过程补充完整。
证明：$\because \angle A C B=\angle D C E$ ，
$\therefore \angle A C D+\angle D C B=\angle D C B+$
$\therefore \angle A C D=\angle B C E$,
在 $\triangle A C D$ 和 $\triangle B C E$ 中，
$\left\{\begin{aligned} A C & =B C \\ \angle A C D & =\angle B C E, \\ C D & =C E\end{aligned}\right.$
$\therefore \triangle A C D \cong \triangle B C E(\mathrm{SAS})$,
$\therefore A D=B E ;$
②若 $\angle A C B=50^{\circ}$ ，则 $\angle A E B$ 的度数为

（2）类比探究：如图 2，$\triangle A C B$ 和 $\triangle D C E$ 均为等腰直角三角形，$\angle A C B=\angle D C E=90^{\circ}$ ，点 $A 、 D 、 E$ 在同一条直线上，$C M$ 为 $\triangle D C E$ 中 $D E$ 边上的高，连接 $B E$ ．请判断 $A E 、 B E$ 与 $C M$ 三条线段的数量关系，并说明理由．（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若 $B E=2, C M=1$ ，请直接写出四边形 $A B E C$ 的面积．

如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C, E$ 为 $A C$ 边的中点，过点 $A$ 作 $A D \perp A B$交 $B E$ 的延长线于点 $D, C G$ 平分 $\angle A C B$ 交 $B D$ 于点 $G, F$ 为 $A B$ 边上一点，连接 $C F$ ，且 $\angle A C F=\angle C B G$ ．求证：
（1）$A F=C G$ ；
（2）$C F=2 D E$ ．

如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 的中点，将 $\triangle A D E$ 沿 $A E$ 翻折至 $\triangle A F E$ ，延长 $A F$ 交边 $B C$ 于点 $G$ ．
（1）求证：$C G=F G$ ；
（2）若正方形的边长为 2，求 $B G$ 的长．

如图，$P$ 是菱形对角线 $A C$ 上的一点，连接 $D P$ 并延长交边 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $B P$ 并延长交边 $A D$ 于点 $F$ 。
（1）如图 1，求证：$\triangle A P B \cong \triangle A P D$ ；
（2）如图 2，连接 $E F 、 B D$ ，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括以菱形的边 $A D$ 和 $A B$ 为腰的等腰三角形）。

（1）解不等式组：$\left\{\begin{array}{c}3 x+1 < 4 \\ -2 x < 4\end{array}\right.$
（2）如图，已知 $A, F, C, D$ 四点共线 $A F=C D, A B=D E, \angle A=\angle D$ ，连接 $B C, E F$ ，求证：$B C=E F$ 。

已知，如图，$B D$ 是 $\angle A B C$ 的平分线，$A B=B C$ ，点 $P$ 在 $B D$ 上，$P M \perp A D, P N \perp C D$ ，垂足分别是 $M 、 N$ ．试说明：$P M=P N$ ．

如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, A D$ 平分 $\angle C A B$ ，交 $C B$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E \perp A B$ 于点 $E$ ．
（1）求证：$A C=A E$ ；
（2）若 $B C=4, A B=5$ ，求 $B E$ 的长．

小瑞同学在进行数学探究活动中发现：将矩形 $A B C D$ 绕点 $C$ 顺时针方向旋转 $\alpha\left(0 < \alpha < 180^{\circ}\right)$ 得到矩形 $E F G C$ 。
［探究1］（1）如图①，当 $\alpha=30^{\circ}$ 时，点 $E$ 在 $A D$ 上，连接 $B E$ ，求 $\angle A E B$ 的度数；
［探究2］（2）如图②，连结 $B D, F C$ ，过点 $E$ 作 $E M \| F C$ 交 $B D$ 于点 $M$ ．证明：$B M=E M$ ；
［探究3］（3）在探究2的条件下，射线 $B D$ 分别交 $E C, F C$ 于点 $P, N$ ，如图③，探究线段 $B N, M N, P N$之间的数量关系．

如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C, B E \perp C E$ 于点 $E, A D \perp C E$ 于点 $D$ ．求证：
（1）$\triangle C D A \cong \triangle B E C$ ；
（2）$B E=A D-D E$

证明题

如图，已知 $A B \| D E, A B=D E, B E=C F$ ，且点 $B, E 、 C 、 F$ 在同一条直线上。求证：$\angle A C B=\angle D F E$ 。

如图，已知 $A, D, C, E$ 在同一直线上，$B C$ 和 $D F$ 相交于点 $O, A D=C E, A B \| D F, A B=D F$ ．
（1）求证：$\triangle A B C \cong \triangle D F E$ ；
（2）连接 $C F$ ，若 $\angle B C F=54^{\circ}, \angle D F C=20^{\circ}$ ，求 $\angle D F E$ 的度数．

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