哈工大《解析函数单元测试》

发布日期 2026/10/4 9:27:32 查看 1 加入组卷查看作者

单选题

函数 $w=f(z)=u+i v$ 在点 $z_0$ 处可导的充要条件是．

$\text{A.}$ $u, v$ 在点 $z_0$ 处有偏导数； $\text{B.}$ $u, v$ 在点 $z_0$ 处可微； $\text{C.}$ $u, v$ 在点 $z_0$ 处满足 C－R 条件； $\text{D.}$ $u, v$ 在点 $z_0$ 处可微，且满足 C－R 条件。

设 $w=\operatorname{Ln} z$ 是对数函数，则下列命题正确的是．

$\text{A.}$ $\operatorname{Ln} z^n=n \operatorname{Ln} z$ ； $\text{B.}$ $\operatorname{Ln} z_1 z_2=\operatorname{Ln} z_1+\operatorname{Ln} z_2$ ； $\text{C.}$ 因为 $z=x$ 是实常数，所以 $\operatorname{Ln} z=\operatorname{Ln} x=\ln x$ ； $\text{D.}$ $\operatorname{Ln} z^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n} \ln z$ ．

函数 $w=f(z)=u+\mathrm{i} v$ 在点 $z_0$ 处解析，则命题不成立．

$\text{A.}$ $u, v$ 仅在点 $z_0$ 处可微且满足 C－R 条件； $\text{B.}$ 存在点 $z_0$ 的某一邻域 $U\left(z_0\right), u, v$ 在 $U\left(z_0\right)$ 内满足 C－R 条件； $\text{C.}$ $u, v$ 在 $U\left(z_0\right)$ 内可微； $\text{D.}$ B 与 C 同时成立．

函数 $w=f(z)=u+\mathrm{i} v$ 在区域 $D$ 内可导的充要条件是。

$\text{A.}$ 在 $D$ 内存在某点 $z_0, f(z)$ 在点 $z_0$ 处解析； $\text{B.}$ $u, v$ 在 $D$ 内有偏导数； $\text{C.}$ $u, v$ 在 $D$ 内满足 C－R 条件； $\text{D.}$ $f(z)$ 在 $D$ 内解析．

函数 $w=f(z)=u+\mathrm{i} v$ 的实、虚部 $u, v$ 在区域 $D$ 内有一阶连续的偏导数，则。

$\text{A.}$ $u, v$ 在 $D$ 内满足 C－R 条件； $\text{B.}$ $f(z)$ 在 $D$ 内连续； $\text{C.}$ $f(z)$ 在 $D$ 内可导； $\text{D.}$ $f(z)$ 在 $D$ 内解析．

函数 $f(z)=u(x, y)+\mathrm{i} v(x, y)$ 解析，则下列命题中错误的是．

$\text{A.}$ $u, v$ 均为调和函数； $\text{B.}$ $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数； $\text{C.}$ $u$ 是 $v$ 的共轭调和函数； $\text{D.}$ $-u$ 是 $v$ 的共轭调和函数．

设函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，则与 $f(z) \equiv$ 常数不等价的命题是．

$\text{A.}$ $f^{\prime}(z) \equiv 0$ ； $\text{B.}$ $\operatorname{Re} f(z) \equiv \operatorname{Im} f(z) \equiv$ 常数； $\text{C.}$ $\overline{f(z)}$ 解析； $\text{D.}$ $|f(z)| \equiv$ 常数．

设函数 $f(z)=u+\mathrm{i} v$ 在区域 $D$ 内解析，下列等式中错误的是．

$\text{A.}$ $f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i} \frac{\partial v}{\partial x}$ ； $\text{B.}$ $f^{\prime}(z)=\frac{\partial v}{\partial y}+\mathrm{i} \frac{\partial v}{\partial x}$ ； $\text{C.}$ $f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial y}+\mathrm{i} \frac{\partial v}{\partial y}$ ； $\text{D.}$ $f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}-\mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y}$ ．

设函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，则与 $f(z) \equiv$ 常数不等价的命题是．

下面论断中正确的是．

$\text{A.}$ 对于任意的复数 $z(\neq 0, \infty), \operatorname{Ln}|z|=\ln |z|$ ； $\text{B.}$ 对于任意的复数 $z(\neq \infty),|\cos z| \leqslant 1$ ； $\text{C.}$ 对于任意的复数 $z(\neq \infty), \mathrm{e}^z>0$ ； $\text{D.}$ 当 $C$ 为整数时，有 $\left(A^B\right)^C=A^{B C}$ ．

下列关系中不正确的是

$\text{A.}$ $\overline{\ln z}=\ln \bar{z}$ ； $\text{B.}$ $\overline{\sin z}=\sin \bar{z}$ ； $\text{C.}$ $\overline{\cos z}=\cos \bar{z}$ ； $\text{D.}$ $\overline{\mathrm{e}^z}=\mathrm{e}^{\bar{z}}$ ．

设函数 $f(z)=u+\mathrm{i} v$ 在区域 $D$ 内解析，则 $u, v$ 的雅可比（Jacobi）行列式
$$
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}=\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\
\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}
\end{array}\right|=
$$

$\text{A.}$ $\left|f^{\prime}(z)\right|$ ； $\text{B.}$ $-\left|f^{\prime}(z)\right|$ ； $\text{C.}$ $\left|f^{\prime}(z)\right|^2$ ； $\text{D.}$ $-\left|f^{\prime}(z)\right|^2$ ．

设 $f(z)=\varphi(x, y)+\mathrm{i} \psi(x, y)$ 是某一平面流速场的复势，则该流速场的势函数是．

$\text{A.}$ $\varphi(x, y)$ ； $\text{B.}$ $\psi(x, y)$ ； $\text{C.}$ $\varphi_x^{\prime}(x, y)$ ； $\text{D.}$ $\varphi_y^{\prime}(x, y)$ ．

填空题

函数 $f(z)=\left(x^2-y^2-x\right)+\mathrm{i}\left(2 x y-y^2\right)$ 在（）处可导，在（）解析

函数 $f(z)=u+i v$ 是解析函数，则 $u^2-v^2$ 的共轭调和函数是

设函数 $f(z)$ 和 $g(z)$ 均在点 $z_0$ 处可导，且 $f\left(z_0\right)=g\left(z_0\right)=0, g\left(z_0\right) \neq 0$ ，则$\lim _{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)}{g(z)}=$

设 $\mathrm{i}^{\mathrm{i}}=\mathrm{e}^z$ ，则 $\mathrm{Re} z=$

函数 $f(z)=\mathrm{e}^{\frac{z}{5}}$ 的周期是

$(1+\mathrm{i})^{\mathrm{i}}$ 的辐角的主值是

设函数 $f(z)=m y^3+n x^2 y+\mathrm{i}\left(x^3+l x y^2\right)$ 为解析函数，则 $l=$ （）．$m=$ （）， $n=$（）

设 $z=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$ ，则 $\operatorname{Re}\left\{\frac{z-1}{z+1}\right\}=$

$(-2)^{\sqrt{2}+\mathrm{i}}=$

设函数 $f(z)=z \operatorname{Re} z$ ，求 $f^{\prime}(0)=0$

设 $u=u(x, y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数，$f=\frac{\partial u}{\partial x}-\mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y}$ ，则 $f$ 是 $D$ 内的函数．

解答题

下列函数何处可导？何处解析？
（1）$x^2-y-x+\mathrm{i}\left(2 x y-y^2\right)$ ；
（2）$z^2 \cdot \bar{z}$.

函数 $f(z)=u+i v$ 是一个解析函数，且 $u+v=x^3-y^3+3 x^2 y-3 x y^2-2 x-2 y$ ，求 $f(z)=u+\mathrm{i} v$ 。

设 $f(z)=\frac{z}{1-z}$ ．证明：当 $|z| < 1$ 时，有

$$
\operatorname{Re}\left[1+\frac{z f^{\prime \prime}(z)}{f^{\prime}(z)}\right] \geqslant \frac{1-|z|}{1+|z|}
$$

若 $f(z)=u+\mathrm{i} v$ 为一个解析函数，$s$ 与 $\boldsymbol{n}$ 是两个互相垂直的单位向量，从 $s$按逆时针方向旋转 $\frac{\pi}{2}$ 能重合于 $n$ ，则有

$$
\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial v}{\partial n}, \quad \frac{\partial u}{\partial n}=-\frac{\partial v}{\partial s}
$$

这里 $\frac{\partial}{\partial s}$ 与 $\frac{\partial}{\partial n}$ 分别表示沿向量 $s, n$ 的方向导数．

求下列函数值
（1）$(1+\mathrm{i})^{1-\mathrm{i}}$ ；
（2） $\operatorname{Ln}(3-\sqrt{3} \mathrm{i})$ ；

解方程 $\mathrm{e}^z-1-\sqrt{3} \mathrm{i}=0$ ．

若函数 $\varphi(x, y)$ 和 $\psi(x, y)$ 都具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，而令 $s=\varphi_y^{\prime}-\psi_x^{\prime}, t=\varphi_x^{\prime}+\psi_y^{\prime}$ ，则 $s+\mathrm{i} t$ 是 $z=x+\mathrm{i} y$ 的解析函数。

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