哈工大《复数基础知识》单元测试

发布日期 2026/10/3 17:21:43 查看 0 加入组卷查看作者

单选题

已知 $z=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-\mathrm{i})$ ，则 $z^{100}+z^{50}+1$ 的值为．

$\text{A.}$ －i； $\text{B.}$ i； $\text{C.}$ 1； $\text{D.}$ －1．

当 $n$ 为3的倍数时，复数 $z=\left[\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} \mathrm{i})\right]^n+\left[\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3} \mathrm{i})\right]^n$ 的值为．

$\text{A.}$ －1； $\text{B.}$ 1； $\text{C.}$ －2； $\text{D.}$ 2.

设复数 $z$ 满足 $\arg (z+2)=\frac{\pi}{3}, \arg (z-2)=\frac{5 \pi}{6}$ ，那么 $z=$ 。

$\text{A.}$ $-1+\sqrt{3} \mathrm{i}$ ； $\text{B.}$ $-\sqrt{3}+\mathrm{i}$ ； $\text{C.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$ ； $\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}$ ．

已知 $z=\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^8$ ，则 $z^{66}+2 z^{33}-2$ 的值为．

$\text{A.}$ －i； $\text{B.}$ 1； $\text{C.}$ i； $\text{D.}$ －1．

集合 $D=\{z|0 < |z| < 1\}$ ，则 $D$ 是．

$\text{A.}$ 无界域； $\text{B.}$ 多连域； $\text{C.}$ 单连域； $\text{D.}$ 闭区域．

方程 $\operatorname{Re} z^2=1$ 所代表的曲线是。

$\text{A.}$ 圆周； $\text{B.}$ 椭圆； $\text{C.}$ 双曲线； $\text{D.}$ 抛物线．

下列方程所表示的曲线中，是椭圆．

$\text{A.}$ $|z-2|+|z+2|=5$ ； $\text{B.}$ $\left|\frac{z-1}{z+1}\right|=2$ ； $\text{C.}$ $|z|+\operatorname{Re} z=1$ ； $\text{D.}$ $\operatorname{Re} z^2=2$ ．

下列函数中，都有 $f(0)=0$ ．则在原点不连续．

$\text{A.}$ $f(z)=\frac{\operatorname{Re} z}{1+|z|}$ ； $\text{B.}$ $f(z)=\frac{[\mathrm{Re} z]^2}{|z|}$ ； $\text{C.}$ $f(z)=\frac{\mathrm{Re} z^2}{|z|^2}$ ； $\text{D.}$ $f(z)=\frac{\left[\operatorname{Re} z^2\right]^2}{|z|^2}$ ．

$\lim _{z \rightarrow z_0} \frac{\operatorname{Im} z-\operatorname{Im} z_0}{z-z_0}=$ ．

$\text{A.}$ i； $\text{B.}$ －i； $\text{C.}$ 0； $\text{D.}$ 不存在．

已知方程 $z^3-z^2+z-1=0$ ，不是它的根．

$\text{A.}$ i； $\text{B.}$ －1； $\text{C.}$ 1； $\text{D.}$ －i．

函数 $f(z)=u(x, y)+\mathrm{i} v(x, y)$ 在点 $z_0=x_0+\mathrm{i} y_0$ 处连续的充要条件是．

$\text{A.}$ $u(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续； $\text{B.}$ $v(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续； $\text{C.}$ $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续； $\text{D.}$ $u(x, y)+v(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续．

已知方程 $(1+2 \mathrm{i}) \bar{z}=4+3 \mathrm{i}$ ，则 $z=$ ．

$\text{A.}$ $2+\mathrm{i}$ ； $\text{B.}$ －2＋i； $\text{C.}$ 2－i； $\text{D.}$ －2－i．

填空题

设 $z=\frac{(3+4 \mathrm{i})(1+\mathrm{i})^{12}}{\mathrm{i}^5(2+4 \mathrm{i})^2}$ ，则 $|z|=$

设 $z=\frac{(1-\mathrm{i})^5-1}{(1+\mathrm{i})^5+1}$ ，则其实部为 () 虚部为()

已知方程 $(1+2 \mathrm{i}) x+(3-5 \mathrm{i}) y=1-3 \mathrm{i}$ ，则 $x=$ ，$y=$

一复数对应的向量按逆时针方向旋转 $\frac{2 \pi}{2}$ 时对应的复数为 $1+i$ ，则原复数是

已知 $z=\frac{-2}{1+\sqrt{3} \mathrm{i}}$ ，则 $z$ 的辐角主值是

设 $z_1=\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}, z_2=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ ，则 $z_1 z_2$ 的指数形式为，$\frac{z_1}{z_2}$ 的指数形式为

满足不等式 $0 < |z+1+\mathrm{i}| < 2$ 的集合是

$\lim _{z \rightarrow 1} \frac{z \bar{z}+2 z-\bar{z}-2}{z^2-1}=$

映射 $w=\frac{1+\mathrm{i}}{z}$ 将圆周 $x^2+y^2=4$ 映成 $w$ 平面上

解答题

设 $a, b, c, d$ 为实数，试求二次方程

$$
x^2+(a+\mathrm{i} b) x+c+\mathrm{i} d=0
$$

至少有一实根的条件．

若 $z+z^{-1}=2 \cos \theta$ ，求证 $z^n+z^{-n}=2 \cos n \theta$

图示满足下列条件的点的存在范围．
（1） $\operatorname{Im} z^2 \leqslant 1$ ；
（2）$|z+1||z-1| < 1$ ；

在映射 $w=z^2$ 下，$z$ 平面上的双曲线 $x^2-y^2=4, x y=6$ 映射成 $w$ 平面上的何种曲线？

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