上海交通大学第一学期高等数学期末考试

发布日期 2026/10/1 19:00:45 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=\int_0^x \sin (x-t)^2 \mathrm{~d} t$ 是 $x$ 的 $k$ 阶无穷小，则 $k=$ 。

$\text{A.}$ 1； $\text{B.}$ 2； $\text{C.}$ 3； $\text{D.}$ 4.

设 $f$ 连续，且 $f(x)=\ln x-x \int_1^{\mathrm{e}} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ ，则 $f(x)$ 的表达式为。

$\text{A.}$ $f(x)=\ln x-\frac{x}{2 \mathrm{e}}$ ； $\text{B.}$ $f(x)=\ln x+\frac{x}{2 \mathrm{e}}$ ； $\text{C.}$ $f(x)=\ln x-2 \mathrm{e} x$ ； $\text{D.}$ $f(x)=\ln x+2 \mathrm{e} x$ ．

设 $O$ 为坐标原点，$A(5,2,0), B(2,5,0)$ 和 $C(1,2,4)$ 是空间中三点，则四面体 $O-A B C$ 底面 $\triangle A B C$ 上的高等于。

$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ； $\text{B.}$ $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ ； $\text{C.}$ $\frac{14 \sqrt{3}}{3}$ ； $\text{D.}$ $7 \sqrt{3}$ ．

下列广义积分中，发散的是。

$\text{A.}$ $\int_0^1 \ln x \mathrm{~d} x$ ； $\text{B.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^2 x}$ ； $\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； $\text{D.}$ $\int_{-1}^1 \frac{\mathrm{~d} x}{x \cos x}$ ．

设 $f(t)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{t}, & t \neq 0 \\ 0, & t=0\end{array}, F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 $F(x)$ 在 $x=0$ 处。

$\text{A.}$ 不连续； $\text{B.}$ 连续但不可导； $\text{C.}$ 可导且 $F^{\prime}(0) \neq 0$ ； $\text{D.}$ 可导且 $F^{\prime}(0)=0$ ．

填空题

曲线 $y^2-2 y+2 x-2=0$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程为

$f(x)=\left|2 x^3-9 x^2+8\right|$ 在区间 $[0,2]$ 上的最小值为，最大值为

直线 $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$ 在 $x O y$ 面上的投影直线方程为

微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{2 y \ln y+x}$ 的通解为

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sqrt{1+\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right)=$

解答题

计算积分 $\int \frac{1}{\sin ^2 x+9 \cos ^2 x} \mathrm{~d} x$

计算积分 $\int_0^2(2 x+1) \sqrt{2 x-x^2} \mathrm{~d} x$

计算积分 $\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln (t+1)}{t} \mathrm{~d} t$ ．

求微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=2 \mathrm{e}^x \cos ^2 x$ 的通解。

设 $y=x$ 是方程 $\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+y=0$ 的解，其中 $x \in(-1,1)$ ，
（1）求函数 $p(x)$ 的表达式；
（2）求原方程满足初始条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=2$ 的特解．

在抛物线 $C: y=-x^2+1(0 < x < 1)$ 上求一点 $P$ ，使得 $C$ 在 $P$ 点的切线与两坐标轴及 $C$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积最小，并求此最小体积。

已知点 $A(0,2,-4), B(-1,0,-2)$ ，在直线 $\frac{x+1}{1}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z}{1}$ 上求一点 $C$ ，使得 $\triangle A B C$ 的面积最小，并求此最小面积。

设 $n$ 是正整数，$F_n(x)=\int_0^x \mathrm{e}^{-t}\left(1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+\cdots+\frac{t^n}{n!}\right) \mathrm{d} t, A_n=F_n(n)=$ $\int_0^n \mathrm{e}^{-t}\left(1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+\cdots+\frac{t^n}{n!}\right) \mathrm{d} t, B_n=\int_0^n \frac{t^n}{n!} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t$ ，证明：
（1）当 $n \geqslant 2$ 时，$A_n \geqslant \max \left(A_{n-1}+B_n, n-n B_n\right)$ ；
（2）方程 $F_n(x)=\frac{n}{2}$ 在开区间 $\left(\frac{n}{2}, n\right)$ 内存在唯一实根．